行列式按行（列）展开

# 1. 简介

## 1.1 行列式的定义与性质

行列式是线性代数中重要的概念之一，它是一种用于描述矩阵特征的数学工具。对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，可以通过以下公式计算：

其中，a_{i,j}表示矩阵A的第i行，第j列的元素，A_{i,1}表示去掉矩阵A的第i行和第1列后得到的n-1阶子矩阵。

行列式具有以下性质：
- 如果矩阵A有一行（或一列）全为0，那么|A| = 0。
- 互换矩阵A的两行（或两列），行列式的值变号。
- 如果矩阵A的两行（或列）相等，那么|A| = 0。
- 如果矩阵A的某一行（或列）中的元素都乘以一个常数k，那么|A|乘以k。

行列式的定义和性质为后续的行列式按行（列）展开提供了基础。

## 1.2 为何要进行行列式的展开

行列式的展开是一种将一个n阶方阵转化为一系列子矩阵的运算，通过该运算，我们可以得到行列式的值，同时也能够应用到其他矩阵相关的问题中。行列式的展开有两种方式，即按行展开和按列展开。

为什么要进行行列式的展开呢？这是因为：
- 行列式的展开可以用来求解线性方程组。通过展开行列式，我们可以得到一个关于未知数的方程组，从而求解方程组的解。
- 行列式的计算可以用于矩阵求逆。行列式的值和矩阵的逆有着密切的关系，通过展开行列式可以帮助我们求解矩阵的逆。
- 行列式的展开是矩阵运算中的基础操作，能够帮助我们理解和解决更复杂的线性代数问题。

接下来，我们将详细介绍行列式按行展开和按列展开的具体步骤，并通过例子来说明行列式展开的计算过程。

# 2. 行列式按行展开

在这一章节中，我们将详细介绍行列式按行展开的具体步骤，并通过实例来说明行列式按行展开的计算过程。

#### 2.1 二阶、三阶行列式按行展开的具体步骤

当我们计算二阶行列式按行展开时，假设行列式为：

\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix}

按第一行展开的结果为：$$a \cdot \begin{vmatrix} d \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} c \end{vmatrix} = ad - bc$$

当我们计算三阶行列式按行展开时，假设行列式为：

\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}

按第一行展开的结果为：

$$a \cdot \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

#### 2.2 通过例子详细说明行列式按行展开的计算过程

现在，让我们通过一个具体的例子来说明行列式按行展开的计算过程。

假设我们有一个三阶行列式：

\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}

按第一行展开的结果为：

$$1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$$

通过计算这三个二阶行列式，我们可以得到最终结果。

# 3. 行列式按列展开

在前面的章节中，我们已经详细介绍了行列式按行展开的方法和步骤。现在，我们将重点讨论行列式按列展开的相关内容。

#### 3.1 二阶、三阶行列式按列展开的具体步骤

行列式按列展开的方法与按行展开类似，只是这次我们选择固定列而非行。对于二阶行列式 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，按列展开的公式为：

$$|A| = a \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{11} + b \cdot (-1)^{2+1} \cdot M_{21}$$

其中，$M_{ij}$ 表示去掉第 $i$ 行、第 $j$ 列后的剩余部分的二阶行列式值。

对于三阶行列式 $B=\begin{pmatrix} a & b