已知圆上任意两点以及半径长度确定一个圆，求该圆的圆心，用数学公式表达

时间: 2023-06-05 14:09:06 浏览: 401

2021年中考数学考点题型归纳：圆.docx

### 2021年中考数学考点题型归纳：圆 #### 一、圆的有关概念 1. **与圆有关的概念和性质** - **圆**：在平面上，所有到某一定点的距离等于固定长度的点所形成的图形称为圆。这个定点被称为圆心，固定长度称为半径。 - **弦与直径**：连接圆上任意两点的线段叫弦。通过圆心的弦被特别称为直径，直径也是圆内最长的弦。 - **弧**：圆上任意两点间的一部分称为弧。若这部分小于半个圆则称为劣弧，大于半个圆则称为优弧。 - **圆心角**：顶点位于圆心的角称为圆心角。 - **圆周角**：顶点位于圆周上，并且两边都与圆有另外一点相交的角称为圆周角。 - **弦心距**：圆心到弦的距离。 2. **注意点** - 经过圆心的直线是该圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 - 三点确定一个圆，而仅通过一点或两点可以确定无数个圆。 - 任意三角形的三个顶点可以确定一个圆，即该三角形的外接圆。 #### 二、垂径定理及其推论 1. **垂径定理**：垂直于弦的直径会平分这条弦及其所对的两条弧。 - 解决此类问题时常结合勾股定理，通过构造直角三角形来求解。 2. **推论** - 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 - 弦的垂直平分线必定经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 #### 三、圆心角、弧、弦的关系 1. **定理**：在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弧相等，相应的弦也相等。 - 圆心角、弧和弦之间的这种等量关系只在同圆或等圆中成立。 2. **推论**：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其他各组量也相等。 #### 四、圆周角定理及其推论 1. **定理**：一条弧所对应的圆周角等于其对应圆心角的一半。 2. **推论** - 在同圆或等圆中，同一条弧或等弧所对的圆周角相等。 - 直径所对的圆周角是直角。 - 圆内接四边形的对角互补。 - 求解角度问题时，常需利用圆的性质进行角度转换，如通过圆心角与圆周角的关系，以及利用直径构造直角三角形来解决。 #### 五、与圆有关的位置关系 1. **点与圆的位置关系** - 设点到圆心的距离为\(d\)。 - \(d<r\) ⇔ 点在圆内。 - \(d=r\) ⇔ 点在圆上。 - \(d>r\) ⇔ 点在圆外。 2. **直线和圆的位置关系** - 由于圆具有轴对称性和中心对称性，关于圆的位置或计算题中经常会出现多种情况需要讨论。 #### 六、切线的性质与判定 1. **切线的性质** - 切线与圆只有一个交点。 - 切线到圆心的距离等于圆的半径。 - 切线垂直于经过切点的半径。 - 解决问题时，通常连接过切点的半径，利用直角三角形的性质来求解。 2. **切线的判定** - 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）。 - 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 - 经过半径外端点并垂直于该半径的直线是圆的切线。 - 证明切线常用的方法包括：已知直线与圆有交点时，连接半径并证明垂直；未知直线与圆是否有交点时，作出垂直并证明垂线段等于半径。 #### 七、三角形与圆 1. **三角形的外接圆相关概念** - 经过三角形各顶点的圆称为三角形的外接圆，外接圆的圆心称为三角形的外心，这样的三角形称为圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点距离相等。 2. **三角形的内切圆** - 与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，内切圆的圆心称为三角形的内心，这样的三角形称为圆的外切三角形。内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边距离相等。 #### 八、正多边形的有关概念 - 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心。 - 正多边形半径：正多边形外接圆的半径。 - 正多边形中心角：正多边形每一边所对应的圆心角。 - 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形一边的距离。 #### 九、与圆有关的计算公式 1. **弧长和扇形面积的计算** - 扇形的弧长\(l=\theta r\)，其中\(\theta\)为圆心角的弧度值，\(r\)为半径。 - 扇形的面积\(S=\frac{1}{2}\theta r^2\)。 2. **圆锥与侧面展开图** - 圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面周长。 - 若圆锥底面半径为\(r\)，母线长为\(l\)，则扇形的半径为\(l\)，扇形的弧长为\(2\pi r\)。 - 圆锥的侧面积\(S_{\text{侧}}=\pi rl\)。 - 圆锥的表面积\(S_{\text{表}}=S_{\text{侧}}+S_{\text{底}}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)\)。 - 对于不规则图形的面积计算，通常采用割补法和等积变化方法将其转化为规则图形，再利用规则图形的公式进行求解。 #### 考向一圆的基本认识 - 在一个圆中可以画出无数条弦和直径。 - 直径是弦的一种特殊形式，但弦不一定是直径。 - 了解这些基本概念有助于解决更为复杂的题目，如涉及圆周角、圆心角、切线等问题时，这些基础知识是解题的关键。

圆心公式：设圆的圆心坐标为(x0, y0)，圆上任意两点坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，半径为r，则有： x0 = (x1 + x2) / 2 y0 = (y1 + y2) / 2 r = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) / 2 解方程组，可得： x0 = (x1^2 + y1^2 - x2^2 - y2^2) / 2(x1 - x2) y0 = (x1^2 + y1^2 - x2^2 - y2^2) / 2(y1 - y2)

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