python编写优化器函数来实现对Beale函数的优化

Beale函数是一个经典的优化函数，其表达式为：

$$ f(x,y)=(1.5-x+xy)^2+(2.25-x+xy^2)^2+(2.625-x+xy^3)^2 $$

可以使用Python编写优化器函数来求解该函数的最小值。下面是一个使用scipy库中的优化器函数实现的例子：

from scipy.optimize import minimize
import numpy as np

def beale(x):
    return (1.5 - x[0] + x[0]*x[1])**2 + \
           (2.25 - x[0] + x[0]*(x[1]**2))**2 + \
           (2.625 - x[0] + x[0]*(x[1]**3))**2

x0 = np.array([1.0, 1.0])
res = minimize(beale, x0, method='BFGS', options={'disp': True})
print(res.x)

在上面的代码中，我们定义了Beale函数，并使用scipy库中的minimize函数求解该函数的最小值。其中，x0是初始值，method是优化算法，options是算法的可选参数。运行上面的代码，可以得到Beale函数的最小值为[3, 0.5]。

相关问题

如何用beale函数测试并体现手写优化器的性能

Beale函数是一个用于优化算法性能测试的经典函数，其表达式为：

f(x,y) = (1.5 - x + xy)^2 + (2.25 - x + xy^2)^2 + (2.625 - x + xy^3)^2

其中，x,y ∈ [-4.5, 4.5]。该函数具有多个局部极小值和一个全局最小值，是一个用于优化算法性能测试的经典函数。

为了测试手写优化器的性能，可以采用以下方法：

1. 实现Beale函数的梯度计算函数grad_beale，用于计算给定x,y下的梯度值。

2. 实现手写优化器（如SGD、Adam等），并选择合适的超参数（如学习率、动量系数等）。

3. 在给定的迭代次数内，使用手写优化器迭代求解Beale函数的最小值，记录每次迭代后的目标函数值和参数值。

4. 绘制目标函数值和参数值的变化曲线，以评估手写优化器的性能。如果手写优化器在有限的迭代次数内能够找到全局最小值，表明其具有较好的性能。

需要注意的是，为了保证测试结果的可靠性，需要对比手写优化器和现有优化器的性能，例如在PyTorch中实现的Adam或SGD等优化器。同时，为了避免局部最小值的影响，可以多次重复实验，并取平均值进行比较。

随机梯度下降法优化beale函数代码

以下是使用随机梯度下降法优化Beale函数的Python代码：

import numpy as np

def beale(x):
    """
    Beale函数：f(x, y) = (1.5 - x + x*y)**2 + (2.25 - x + x*y**2)**2 + (2.625 - x + x*y**3)**2
    """
    return (1.5 - x[0] + x[0]*x[1])**2 + (2.25 - x[0] + x[0]*x[1]**2)**2 + (2.625 - x[0] + x[0]*x[1]**3)**2

def beale_gradient(x):
    """
    Beale函数的梯度向量
    """
    grad = np.zeros_like(x)
    grad[0] = 2*(x[0]*x[1] - x[0] + 1.5)*(x[1]**3) + 2*(x[0]*x[1]**2 - x[0] + 2.25)*(x[1]**2) + 2*(x[0]*x[1]**3 - x[0] + 2.625)*x[1]
    grad[1] = 2*(x[0]*x[1] - x[0] + 1.5)*(x[0]) + 2*(x[0]*x[1]**2 - x[0] + 2.25)*(2*x[0]*x[1]) + 2*(x[0]*x[1]**3 - x[0] + 2.625)*(3*x[0]*x[1]**2)
    return grad

def sgd_beale(x0, learning_rate=0.001, max_iter=10000, tol=1e-6):
    """
    使用随机梯度下降法优化Beale函数
    """
    x = x0.copy()
    for i in range(max_iter):
        # 随机选择一个方向
        direction = np.random.randn(2)
        # 计算梯度
        grad = beale_gradient(x)
        # 更新参数
        x -= learning_rate * grad * direction
        # 检查收敛性
        if np.linalg.norm(grad) < tol:
            print("SGD converged in {} iterations.".format(i+1))
            break
    return x

# 测试
np.random.seed(0)
x0 = np.array([1.0, 1.0])
x_opt = sgd_beale(x0)
print("Optimized solution: x = {:.6f}, y = {:.6f}, f(x, y) = {:.6f}".format(x_opt[0], x_opt[1], beale(x_opt)))

在上面的代码中，我们定义了Beale函数及其梯度向量，然后使用随机梯度下降法优化这个函数。在每次迭代中，我们随机选择一个方向（即随机生成一个二维向量），计算梯度，并更新参数。我们使用欧几里得范数来检查梯度是否已经足够小，如果是，则认为算法已经收敛。最后，我们输出优化后的解及其函数值。