2 1 3 -1 3 1 0 7 -1 2 4 -2 1 0 -1 5 使用gauss-jordan方法求这个矩阵的逆矩阵
时间: 2024-09-30 07:03:09 浏览: 18
要使用Gauss-Jordan消元法求给定矩阵的逆矩阵,我们可以按照以下步骤操作[^1]:
1. 表达原始矩阵 \( A \):
```
| 2 1 3 |
| 3 1 0 |
|-1 2 4 |
| 1 0 -1 |
```
2. 创建增广矩阵 \( [A | I] \),其中 \( I \) 是单位矩阵:
```
| 2 1 3 | 1 0 0 1 |
| 3 1 0 | 0 1 0 1 |
|-1 2 4 | 0 0 1 1 |
| 1 0 -1| 0 0 0 1 |
```
3. 通过一系列行变换(包括交换、倍加和替换)使得左上角元素变成1,同时保持右边单位矩阵的结构。
4. 消除非主元素,即从左到右除以当前行的第一个非零元素,并把结果加到其他行对应位置。
5. 重复这些步骤直到整个矩阵都是阶梯形式(除了对角线上的元素外,其余均为0),此时左边部分就是原矩阵的逆矩阵。
对于给定的矩阵,这里展示简化后的计算过程:
首先将第二行减去第一行的三倍,第三行加上第一行,第四行减去第一行:
```
| 1 0 0 | 2 1 3 | 1 0 0 1 |
| 0 1 0 | -2 -3 | 0 1 0 1 |
| 0 2 4 | 4 7 | 0 0 1 1 |
| 0 0 -1| -2 1 | 0 0 0 1 |
```
接着,将第三行减去第二行的两倍,第四行加上第二行:
```
| 1 0 0 | 2 1 3 | 1 0 0 1 |
| 0 1 0 | -2 -3 | 0 1 0 1 |
| 0 0 1 | 0 1 | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 | 1 -1| 0 0 1 1 |
```
现在,矩阵已经变成了阶梯形,逆矩阵就在上面显示的部分中:
```
| 1 0 0 | 2/3 1/3 |
| 0 1 0 | -1 |
```
所以,逆矩阵是:
```
[ 2/3 1/3 ]
[-2/3 -1 ]
[ 0 1 ]
[ 0 -1 ]
```