计算卷积积分e⁻ᵗu(t)*e⁻²tu(t)并写出代码画出图形
时间: 2024-09-26 15:05:10 浏览: 20
卷积积分 \( e^{-t}u(t) * e^{-2tu(t)} \),其中 \( u(t) \) 是单位阶跃函数(Heaviside函数),表示的是两个指数衰减信号的卷积。这个积分实际上是两个指数函数乘积的拉普拉斯变换,因为单位阶跃函数在拉普拉斯域中变为\( s \)。
对于给定的表达式,计算结果会涉及到复数域,因为单位阶跃函数会使积分变成从0到正无穷的区域,而两个指数函数在实数范围内会有交点。具体解法可以应用拉普拉斯变换的性质,然后对解进行反变换得到时间域的结果。
在Python中,我们可以使用`scipy.signal`库中的`laplace_transform`和`inverse_laplace_transform`来进行计算。首先需要安装该库:
```bash
pip install scipy
```
接下来,假设我们知道拉普拉斯变换规则:
\[ L\{e^{-at}u(t)\} = \frac{1}{s+a} \]
我们来计算卷积积分:
```python
from sympy import symbols, exp, Heaviside, laplace_transform, inverse_laplace_transform
import numpy as np
from scipy.signal import lti, freqz
# 定义符号
t, s = symbols('t s')
# 单位阶跃函数
u_t = Heaviside(t)
# 函数及其拉普拉斯变换
f1 Lap_f1 = laplace_transform(exp(-t)*u_t, t, s)
f2 Lap_f2 = laplace_transform(exp(-2*t)*u_t, t, s)
# 卷积的拉普拉斯变换
conv_Lap = Lap_f1*Lap_f2
# 反变换求原函数
conv_t = inverse_laplace_transform(conv_Lap, s, t)
# 绘制时间域图形
sys = lti([1], [1, -1]) # 创建系统的模型
w, H = freqz(sys.num[0], sys.den[0], worN=8000) # 频率响应
time_domain = conv_t.evalf(subs={s: 0}) # 在t=0处取值作为起点
plt.figure()
plt.plot(time_domain, label='Convolution')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.legend()
plt.show()