已知直线l:3x+4y-40=0,点A(-1,5), 点B(-2,-2),点C(5,5),若p是三角形ABC外接圆上的一点,则点p到直线l的距离的取值范围是()?
时间: 2024-05-24 19:15:56 浏览: 12
首先,我们可以计算出三角形ABC的外接圆的圆心O和半径R。
以线段AB为直径的圆的圆心为线段中点M,即M=(-1.5, 1.5)。由于圆心O在直线MC的中垂线上,因此可以求出直线MC的斜率为-4/3。同理,可以求出直线MB的斜率为-3/2。再利用直线的斜截式方程,可以写出直线MC和MB的方程:
MC: y = (-4/3)x + 14/3
MB: y = (-3/2)x + 5
解这两个方程,得到它们的交点坐标为O=(1,3)。此时,我们可以计算出圆的半径R=OA=OB=OC。
接下来,我们需要求出点P到直线l的距离。由于直线l的一般式方程为3x+4y-40=0,因此可以将点P的坐标代入该方程,求出点P到直线l的距离d:
d = |3p + 4q - 40| / 5
其中,点P的坐标为(p,q)。为了方便计算,我们可以将直线l的一般式方程转化为点斜式方程:
y = (-3/4)x + 10
这样,点P到直线l的距离可以表示为:
d = |(-3/4)p + q + 10| / (5/4)
为了求出d的取值范围,我们可以将点P的坐标表示为圆心O和半径R的函数:
(p-1)^2 + (q-3)^2 = R^2
展开得到:
p^2 + q^2 - 2p - 6q + 9 = R^2 - 1
将此式中的p代入上面的d的式子,得到:
d = |(-3/4)p + (R^2-1)/5 + 10/5| / (5/4)
整理后得到:
d = |(-3/4)p + (R^2+1)/5| / (5/4)
注意到该式中只有p是变量,因此我们可以将其视为一条直线的方程,而|R^2+1| / 5是一个常数。因此,点P到直线l的距离的取值范围就是以直线(-3/4)p + (R^2+1)/5 = 0为边界的两侧区域。这条直线的斜率为-4/3,因此它与直线MC的斜率相等。同时,圆心O的纵坐标为3,因此它的截距也可以求出来。将它们代入直线的斜截式方程,得到:
(-3/4)p + (R^2+1)/5 = -4/3*(p-1) + 3
整理得到:
p = (4R^2-1) / 25
因此,点P到直线l的距离的取值范围是:
d = |(-3/4)(4R^2-1)/25 + (R^2+1)/5| / (5/4)
化简得到:
d = |R^2-9| / 25
因此,d的取值范围是[0,2/5]。
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