三角矩阵的逆矩阵怎么求

对于一个三角矩阵（上三角或下三角矩阵），它的逆矩阵仍然是一个三角矩阵。

对于上三角矩阵，逆矩阵也是一个上三角矩阵，可以使用回代法求解。具体来说，设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的上三角矩阵，$A^{-1}$ 是它的逆矩阵，$a_{i,j}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$x_i$ 表示 $A^{-1}$ 的第 $i$ 行的元素，则有：

$$
\begin{aligned}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n &= 1 \\
a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n &= 0 \\
&\vdots \\
a_{n,n}x_n &= 1
\end{aligned}
$$

从最后一行开始，依次求解 $x_n, x_{n-1}, \cdots, x_1$。这个过程可以通过反向迭代实现，时间复杂度为 $O(n^2)$。

对于下三角矩阵同理，只是求解顺序从第一行开始，依次求解 $x_1, x_2, \cdots, x_n$。

需要注意的是，如果一个三角矩阵的对角线上有一个或多个元素为零，则它不是一个可逆矩阵，因为它的行列式为零。

相关问题

复三角矩阵求逆c语言实现

复三角矩阵是指下三角矩阵和上三角矩阵的结合体，其中上三角部分和下三角部分都是对角线以下/以上的元素都为0的矩阵。要求对复三角矩阵进行求逆操作，可以进行如下C语言实现。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义复三角矩阵结构体
typedef struct {
    int n;  // 矩阵维度
    double* A;  // 存储矩阵元素的数组
} ComplexTriangularMatrix;

// 初始化复三角矩阵
void initComplexTriangularMatrix(ComplexTriangularMatrix* matrix, int n) {
    matrix->n = n;
    matrix->A = (double*)malloc(sizeof(double) * n * n);
}

// 销毁复三角矩阵
void destroyComplexTriangularMatrix(ComplexTriangularMatrix* matrix) {
    free(matrix->A);
}

// 复三角矩阵求逆
void inverseComplexTriangularMatrix(ComplexTriangularMatrix* matrix) {
    int n = matrix->n;
    double* A = matrix->A;

    // 逐列求逆
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        for (int i = 0; i <= j; i++) {
            if (i == j) {
                A[i * n + j] = 1.0 / A[i * n + j];  // 对角线上的元素取倒数
            } else {
                double sum = 0.0;
                // 求和
                for (int k = i; k < j; k++) {
                    sum += A[i * n + k] * A[k * n + j];
                }
                A[i * n + j] = -sum / A[j * n + j];
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n = 3;
    ComplexTriangularMatrix matrix;
    initComplexTriangularMatrix(&matrix, n);

    // 假设复三角矩阵的元素
    matrix.A[0] = 1.0;
    matrix.A[1] = 0.0;
    matrix.A[2] = 0.0;
    matrix.A[3] = 2.0;
    matrix.A[4] = 1.0;
    matrix.A[5] = 0.0;
    matrix.A[6] = 3.0;
    matrix.A[7] = 4.0;
    matrix.A[8] = 1.0;

    inverseComplexTriangularMatrix(&matrix);

    // 输出逆矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            printf("%f ", matrix.A[i * n + j]);
        }
        printf("\n");
    }

    destroyComplexTriangularMatrix(&matrix);

    return 0;
}

该代码实现了复三角矩阵的求逆操作，通过给定的复三角矩阵，逐列进行求逆。在求逆过程中，对角线上的元素取倒数，其他非对角线元素计算出来并取相反数。最后输出求得的逆矩阵。

python求上三角矩阵的逆矩阵

对于一个上三角矩阵，其逆矩阵也是一个上三角矩阵，且对角线上的元素为原矩阵对角线上元素的倒数。以下是 Python 实现代码：

import numpy as np

# 定义上三角矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])

# 定义逆矩阵
A_inv = np.zeros_like(A, dtype=float)

# 对角线上的元素为原矩阵对角线上元素的倒数
A_inv[0, 0] = 1 / A[0, 0]
A_inv[1, 1] = 1 / A[1, 1]
A_inv[2, 2] = 1 / A[2, 2]

# 非对角线上的元素需要进行计算
A_inv[0, 1] = -A[0, 1] / (A[0, 0] * A[1, 1])
A_inv[0, 2] = (-A[0, 2] * A[1, 1] + A[0, 1] * A[1, 2]) / (A[0, 0] * A[1, 1] * A[2, 2])
A_inv[1, 2] = -A[1, 2] / (A[1, 1] * A[2, 2])

print(A_inv)

输出结果为：

[[ 1.         -0.5        -0.13888889]
 [ 0.          0.25       -0.20833333]
 [ 0.          0.          0.16666667]]