用充要条件,充分条件,必要条件描述二元函数在一点连续,偏导数存在,偏导数连续,可微之间的关系并举例说明。
时间: 2023-05-14 10:04:40 浏览: 146
充分条件:若二元函数在点 $(x_0,y_0)$ 处连续且偏导数存在且连续,则该函数在该点可微。
必要条件:若二元函数在点 $(x_0,y_0)$ 处可微,则该函数在该点连续且偏导数存在。
举例说明:考虑函数 $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$
充分条件:首先,当 $(x,y)\neq (0,0)$ 时,$f(x,y)$ 是连续的,因为 $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$。其次,当 $(x,y)\neq (0,0)$ 时,$f(x,y)$ 的偏导数存在且连续,因为
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$$
当 $(x,y)=(0,0)$ 时,$f(x,y)$ 的偏导数也存在且连续,因为
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0$$
因此,根据充分条件,$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
必要条件:假设 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微,则 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续且偏导数存在。由于
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0$$
因此,$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数存在。又由于
$$f(x,y)-f(0,0)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$
所以
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0$$
因此,$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
相关推荐
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)