级数1/(ln(n))^ ln(n)的收敛性

我们可以使用Cauchy积分判别法来判断级数的收敛性。具体地，我们考虑以下积分：

∫[2,∞] dx / (ln(x))^ln(x)

如果这个积分收敛，那么原级数也收敛；如果这个积分发散，那么原级数也发散。

现在，我们来考虑这个积分的收敛性。我们进行换元，令 u = ln(x)，则有：

∫[2,∞] dx / (ln(x))^ln(x) = ∫[ln(2),∞] du / u^u

现在，我们需要比较这个积分和一个已知的收敛积分。我们考虑级数

∑n≥2 1/n^p

其中 p > 1。这个级数的收敛性可以使用积分判别法来证明，具体地，我们考虑以下积分：

∫[2,∞] dx / x^p

如果 p > 1，这个积分收敛，那么原级数也收敛；如果 p ≤ 1，这个积分发散，那么原级数也发散。

现在，我们来比较原积分和这个积分。我们选择 p = 2，那么有：

∑n≥2 1/n^2 ≤ ∫[1,∞] dx / x^2 = 1

因此，

∑n≥2 1/n^2 ≤ 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...

现在，我们来比较原积分和这个级数。对于任意的 n ≥ 2，我们有：

1/n^ln(n) ≤ 1/n^2

因此，

∑n≥2 1/n^ln(n) ≤ ∑n≥2 1/n^2

因为 ∑n≥2 1/n^2 收敛，所以原级数也收敛。

综上所述，级数 1/(ln(n))^ln(n) 收敛。

相关问题

求级数n等于1 ln【2n/（2n-1）】

同样是一个调和级数的形式，我们可以采用积分判别法来判断其敛散性。

考虑函数f(x)=lnx，它在区间[1,+∞)上是单调递增的，由于分母2n-1在区间[1,+∞)上是单调递增的，因此当n趋向于无穷大时，有：

ln(2n)/(2n-1) >= ln(2n+1)/(2n)

对上式两端分别积分得到：

∫ln(2n)/(2n-1) dn >= ∫ln(2n+1)/(2n) dn

即：

ln2 + ∑(n=2,∞) ln(2n)/(2n-1) >= ln2 + ∑(n=2,∞) ln(2n+1)/(2n)

其中ln2是一个常数，可以忽略不计。

由于级数∑ln(2n+1)/(2n)是收敛的（可以通过比值判别法证明），因此根据比较判别法，可知级数∑ln(2n)/(2n-1)也是收敛的。

因此，级数∑ln(2n)/(2n-1)是收敛的。

求级数n等于1 ln【2n/（2n-1）】的值

由于级数∑ln(2n)/(2n-1)是收敛的，因此可以计算其和。

根据前面的推导可知：

ln(2n)/(2n-1) >= ln(2n+1)/(2n)

两边同时乘以2n(2n+1)，得到：

2n*ln(2n) + 2n*ln(2n+1) >= (2n-1)*ln(2n)

移项合并同类项，得到：

ln(2n)/(2n) + ln(2n+1)/(2n+1) >= ln(2n)/(2n-1)

将上式从n=1到n=N进行求和，得到：

ln2 - ln3/3 + ln4/2 - ln5/5 + ln6/4 - ... - ln(2N-1)/(2N-1) + ln(2N)/2

可以发现，上式中每两项合并后的结果都是形如±ln(k)，其中k是一个偶数，符号的正负与k的奇偶性相对应。

因此，上式可以写成：

ln2 + Σ(k=2,2N) (-1)^(k/2) * ln(k)/k

其中Σ表示求和，k从2到2N，(-1)^(k/2)表示(-1)的k/2次方，即当k为偶数时为1，当k为奇数时为-1。

将k=2代入上式，得到：

ln2 + ln2/2

将k=4代入上式，得到：

ln2 + ln4/4 - ln3/3

将k=6代入上式，得到：

ln2 + ln4/4 - ln3/3 + ln6/6 - ln5/5

...以此类推...

将k=2N代入上式，得到：

ln2 + ln4/4 - ln3/3 + ln6/6 - ln5/5 + ... + ln(2N)/2 - ln(2N-1)/(2N-1)

即原级数的和为：

ln2 + Σ(k=2,∞) (-1)^(k/2) * ln(k)/k

其中Σ表示求和，k从2到∞，(-1)^(k/2)表示(-1)的k/2次方，即当k为偶数时为1，当k为奇数时为-1。

这个级数的和是一个常数，约为0.6931471805599453。