画一个无向欧拉图，使它具有:(1)偶数个顶点，偶数条边;(2)奇数个顶点，奇数条边;(3)偶数个顶点，奇数条边;(4)奇数个顶点，偶数条边.

(1) 一个具有 4 个顶点、 4 条边的正方形。

   o----o
   |    |
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(2) 一个具有 5 个顶点、 5 条边的五边形。

      o
     / \
    /   \
   o-----o
    \   /
     \ /
      o

(3) 一个具有 6 个顶点、 5 条边的图：

   o----o
   |\  /|
   | \/ |
   | /\ |
   |/  \|
   o----o

(4) 一个具有 3 个顶点、 2 条边的三角形。

    o
   / \
  /   \
 o-----o

相关问题

用java写一段 判断一个有向图和无向图是不是欧拉图和半欧拉图 的代码【实验原理和方法】 （1）用关系矩阵R= 表示图。 （2）对无向图而言，若所有结点的度都是偶数，则该图为欧拉图。 半欧拉图：有两个点奇数度，其余都是偶数度 （3）对有向图而言，若所有结点的入度等于出度，则该图为欧拉图。 半欧拉图：有一个点出度比入度多一，另有一个点入度比出度多一，其余点出度等于入度。

下面是用Java实现判断一个有向图和无向图是否为欧拉图和半欧拉图的代码：

import java.util.*;

public class Graph {

    private int V; // 图的顶点数
    private int[][] adjMatrix; // 关系矩阵

    public Graph(int V, int[][] adjMatrix) {
        this.V = V;
        this.adjMatrix = adjMatrix;
    }

    // 判断无向图是否为欧拉图
    public boolean isEulerianUndirected() {
        // 统计每个节点的度数
        int[] degrees = new int[V];
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                if (adjMatrix[i][j] != 0) {
                    degrees[i]++;
                }
            }
        }
        // 判断是否所有节点的度数都是偶数
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (degrees[i] % 2 != 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 判断无向图是否为半欧拉图
    public boolean isSemiEulerianUndirected() {
        // 统计奇数度数的节点数量
        int oddDegreesCount = 0;
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            int degree = 0;
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                if (adjMatrix[i][j] != 0) {
                    degree++;
                }
            }
            if (degree % 2 != 0) {
                oddDegreesCount++;
            }
        }
        // 判断是否恰好有两个节点的度数是奇数
        return oddDegreesCount == 2;
    }

    // 判断有向图是否为欧拉图
    public boolean isEulerianDirected() {
        // 统计每个节点的入度和出度
        int[] inDegrees = new int[V];
        int[] outDegrees = new int[V];
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                if (adjMatrix[i][j] != 0) {
                    outDegrees[i]++;
                    inDegrees[j]++;
                }
            }
        }
        // 判断是否所有节点的入度等于出度
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (inDegrees[i] != outDegrees[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 判断有向图是否为半欧拉图
    public boolean isSemiEulerianDirected() {
        // 统计出度比入度多1的节点数量和入度比出度多1的节点数量
        int outMinusInCount = 0;
        int inMinusOutCount = 0;
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            int outDegree = 0;
            int inDegree = 0;
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                if (adjMatrix[i][j] != 0) {
                    outDegree++;
                }
                if (adjMatrix[j][i] != 0) {
                    inDegree++;
                }
            }
            if (outDegree - inDegree == 1) {
                outMinusInCount++;
            } else if (inDegree - outDegree == 1) {
                inMinusOutCount++;
            }
        }
        // 判断是否恰好有一个节点出度比入度多1，恰好有一个节点入度比出度多1，其余节点出度等于入度
        return outMinusInCount == 1 && inMinusOutCount == 1 && V - outMinusInCount - inMinusOutCount == 0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 举例：判断无向图是否为欧拉图
        int[][] adjMatrix = {
                {0, 1, 1, 0},
                {1, 0, 1, 0},
                {1, 1, 0, 1},
                {0, 0, 1, 0}
        };
        Graph graph = new Graph(4, adjMatrix);
        boolean isEulerianUndirected = graph.isEulerianUndirected();
        boolean isSemiEulerianUndirected = graph.isSemiEulerianUndirected();
        System.out.println("是否为欧拉图：" + isEulerianUndirected);
        System.out.println("是否为半欧拉图：" + isSemiEulerianUndirected);

        // 举例：判断有向图是否为欧拉图
        int[][] adjMatrix2 = {
                {0, 1, 0, 0},
                {0, 0, 1, 0},
                {0, 0, 0, 1},
                {1, 0, 0, 0}
        };
        Graph graph2 = new Graph(4, adjMatrix2);
        boolean isEulerianDirected = graph2.isEulerianDirected();
        boolean isSemiEulerianDirected = graph2.isSemiEulerianDirected();
        System.out.println("是否为欧拉图：" + isEulerianDirected);
        System.out.println("是否为半欧拉图：" + isSemiEulerianDirected);
    }
}

用matlab实现“判断一个有向图和无向图是不是欧拉图和半欧拉图”

判断一个有向图和无向图是否是欧拉图和半欧拉图的算法如下：

1. 对于无向图，判断是否是欧拉图的条件是：每个顶点的度数都是偶数。判断是否是半欧拉图的条件是：有且只有两个顶点的度数是奇数。

2. 对于有向图，判断是否是欧拉图的条件是：每个顶点的入度和出度相等。判断是否是半欧拉图的条件是：有且只有一个顶点的出度比入度大1，有且只有一个顶点的入度比出度大1，其余顶点的入度和出度相等。

以下是用MATLAB实现判断无向图是否是欧拉图和半欧拉图的代码：

% 构造无向图邻接矩阵
G = [0 1 0 1 0; 1 0 1 1 1; 0 1 0 0 1; 1 1 0 0 1; 0 1 1 1 0];

% 判断是否是欧拉图
flag = 1;
for i = 1:size(G,1)
    if mod(sum(G(i,:)),2) ~= 0
        flag = 0;
        break;
    end
end
if flag == 1
    disp('This is an Euler graph.');
else
    % 判断是否是半欧拉图
    odd_degrees = 0;
    for i = 1:size(G,1)
        if mod(sum(G(i,:)),2) ~= 0
            odd_degrees = odd_degrees + 1;
        end
    end
    if odd_degrees == 2
        disp('This is a Semi-Euler graph.');
    else
        disp('This is not an Euler or Semi-Euler graph.');
    end
end

以下是用MATLAB实现判断有向图是否是欧拉图和半欧拉图的代码：

% 构造有向图邻接矩阵
G = [0 1 0 0 1; 0 0 1 1 0; 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 0];

% 判断是否是欧拉图
flag = 1;
for i = 1:size(G,1)
    if sum(G(i,:)) ~= sum(G(:,i))
        flag = 0;
        break;
    end
end
if flag == 1
    disp('This is an Euler graph.');
else
    % 判断是否是半欧拉图
    out_degrees = sum(G,2);
    in_degrees = sum(G,1);
    odd_out_degrees = find(mod(out_degrees,2) == 1);
    odd_in_degrees = find(mod(in_degrees,2) == 1);
    if length(odd_out_degrees) == 1 && length(odd_in_degrees) == 1
        if out_degrees(odd_out_degrees) - in_degrees(odd_out_degrees) == 1 && in_degrees(odd_in_degrees) - out_degrees(odd_in_degrees) == 1
            disp('This is a Semi-Euler graph.');
        else
            disp('This is not an Euler or Semi-Euler graph.');
        end
    else
        disp('This is not an Euler or Semi-Euler graph.');
    end
end