无向图G是欧拉图当且仅当G中无奇度定点正确吗
时间: 2024-03-31 16:34:15 浏览: 25
不完全正确。
充分性:如果无向图G中没有奇度顶点,则G的每个顶点的度数都是偶数。由于每条边都会贡献2个顶点的度数,因此G的边数也是偶数。由于欧拉图的定义是一个图中存在一条欧拉回路,当且仅当这个图的每个顶点的度数都是偶数,且这个图连通。因此,如果无向图G中没有奇度顶点,则G是欧拉图。
必要性:如果无向图G是欧拉图,则G的每个顶点的度数都是偶数。由于每条边都会贡献2个顶点的度数,因此G的边数也是偶数。现在假设G中存在奇度顶点,则这些奇度顶点的个数一定是偶数(因为每个顶点的度数都是偶数,所以只可能是0个,2个,4个……)。但是由于每条边都会贡献2个顶点的度数,因此G的边数应该是奇数,与G的边数为偶数矛盾。因此,如果无向图G是欧拉图,则G中不存在奇度顶点。
综上所述,无向图G中没有奇度顶点是G是欧拉图的充分条件,但不是必要条件。
相关问题
有割点的无向图G一定不是欧拉图
是的,这是正确的。因为一个无向图G是欧拉图,当且仅当每个顶点的度数都是偶数。但是,如果一个无向图G有一个割点(即删除该点后,G不再是连通的),那么删除该割点后,图G就被分成了两个或更多的连通分量。对于每个连通分量,它们的顶点数和边数都是奇数。因此,每个连通分量都不能是欧拉图。所以,有割点的无向图G一定不是欧拉图。
一个非空连通图是欧拉图当且仅当没有奇点
是的,这是正确的。一个图是欧拉图的充分必要条件是该图是连通的且没有奇点(度数为奇数的顶点)。如果图中有奇点,则存在一些顶点无法通过欧拉路径或欧拉回路遍历,因为每次进入一个奇点必须离开该点,导致无法回到该点。如果没有奇点,则可以通过欧拉路径或欧拉回路遍历整个图,因为每次进入一个顶点都可以离开该点,而不必担心无法回到该点。