数值分析拉格朗日插值实验Python

这里提供一个Python实现的拉格朗日插值实验，需要用到numpy和matplotlib库。

先定义一个函数，可以用来生成待插值的数据：

import numpy as np

def f(x):
    return np.sin(x)

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 11)
y = f(x)

这里生成了一个等间距的11个点，对应的函数值使用sin函数计算。

接下来定义一个拉格朗日插值函数：

def lagrange(x, x0, y0):
    n = len(x0)
    l = np.ones(n)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if j != i:
                l[i] *= (x - x0[j]) / (x0[i] - x0[j])
    return sum(y0 * l)

这个函数的输入参数分别为：

- x：要进行插值的点的横坐标
- x0：已知点的横坐标数组
- y0：已知点的纵坐标数组

函数首先计算出拉格朗日插值的基函数l，然后将已知点的纵坐标与基函数相乘，最后求和得到插值结果。

接下来可以使用matplotlib库绘制插值结果：

import matplotlib.pyplot as plt

x_new = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y_new = np.zeros(100)
for i in range(100):
    y_new[i] = lagrange(x_new[i], x, y)

plt.plot(x_new, y_new, label='Lagrange Interpolation')
plt.plot(x, y, 'o', label='Data Points')
plt.plot(x_new, f(x_new), label='True Function')
plt.legend()
plt.show()

这里使用了np.linspace函数生成了100个等间距的点，然后对每个点进行插值，得到插值结果y_new。最后将插值结果、原始数据点和真实函数一起绘制出来。

完整的代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return np.sin(x)

def lagrange(x, x0, y0):
    n = len(x0)
    l = np.ones(n)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if j != i:
                l[i] *= (x - x0[j]) / (x0[i] - x0[j])
    return sum(y0 * l)

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 11)
y = f(x)

x_new = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y_new = np.zeros(100)
for i in range(100):
    y_new[i] = lagrange(x_new[i], x, y)

plt.plot(x_new, y_new, label='Lagrange Interpolation')
plt.plot(x, y, 'o', label='Data Points')
plt.plot(x_new, f(x_new), label='True Function')
plt.legend()
plt.show()

运行结果如下图所示：