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时间: 2023-03-22 17:04:12 浏览: 1579

一个组合数问题(递归完成)

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组合数，又称二项式系数，是组合数学中的基本概念，它在计算机科学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。本主题将深入探讨如何利用递归方法来解决组合数问题，以及解决这类问题时的一些关键思想。组合数C(n, k)表示从n个不同元素中不重复地选取k个元素的方法数。根据组合数的性质，我们有以下基本公式： 1. 当k=0或k=n时，C(n, k) = 1。 2. 对于任何正整数k，C(n, k) = C(n, n-k)（对称性）。 3. 组合数的乘法规则：C(n, k) * C(k, r) = C(n, r) * C(n-r, k-r)（帕斯卡定律）。递归解决组合数问题的关键在于理解递归关系。递归算法通常包含两个部分：基本情况（base case）和递归步骤（recursive step）。对于组合数，基本情况是上述的第一条性质，而递归步骤则是通过帕斯卡定律实现的。递归函数可以如下定义： ```python def combination(n, k): if k == 0 or k == n: return 1 else: return combination(n-1, k-1) + combination(n-1, k) ``` 在这个递归函数中，当k等于0或n时，返回1，这是基本情况。否则，我们通过递归调用计算C(n-1, k-1)和C(n-1, k)，然后将结果相加，这就是递归步骤。这种递归方式遵循了帕斯卡定律，因为C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。然而，递归解法虽然直观，但效率较低，因为它包含了大量重复计算。为了提高效率，我们可以采用动态规划的方法，将已经计算过的组合数存储起来，避免重复计算。这被称为备忘录法（memoization）： ```python def combination_memoized(n, k, memo={}): if k == 0 or k == n: return 1 if (n, k) not in memo: memo[(n, k)] = combination_memoized(n-1, k-1, memo) + combination_memoized(n-1, k, memo) return memo[(n, k)] ``` 此外，还可以使用迭代的方式来计算组合数，进一步提高效率： ```python def combination_iterative(n, k): result = 1 for i in range(1, min(k, n-k)+1): result *= (n - i + 1) // i return result ``` 在实际应用中，组合数常用于计算排列组合、概率计算、哈希函数设计等。例如，在计算机科学中，组合数出现在许多算法和数据结构中，如二项堆、二项队列和组合排序。了解递归和动态规划等方法来计算组合数是解决此类问题的基础，也是提升编程能力的重要一环。组合数问题是数学与计算机科学的交汇点，递归和动态规划等方法为我们提供了高效解决问题的工具。在面对复杂问题时，理解和运用这些思路可以帮助我们设计出更加优雅和高效的解决方案。

本题需要编写一个程序，用公式c(n,m) = m!(n-m)! / n!，计算从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的组合数。建议定义并调用函数fact(n)来计算n!，其中n的类型为int，函数类型为double。输入格式为：

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本题要求编写程序，根据公式c n m ​ = m!(n−m)! n! ​ 算出从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的组合数。 建议定义和调用函数fact(n)计算n!，其中n的类型是int，函数类型是double。 输入格式:

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