y^2根号（1-y^2）对y求积分

这是一个常见的三角函数积分，可以通过代换法来求解。

令y = sin(u)，则dy = cos(u) du，根号（1-y^2）= cos(u)。

将y = sin(u)和根号（1-y^2）= cos(u)代入原式中，得到：

∫y^2根号（1-y^2）dy = ∫sin^2(u)cos(u)du

利用三角恒等式sin^2(u) = (1-cos(2u))/2，将原式改写为：

∫(1-cos(2u))/2 * cos(u)du

展开后得到：

1/2 * ∫cos(u)du - 1/2 * ∫cos(3u)du

对于第一个积分，直接积分得到sin(u)。对于第二个积分，可以使用代数法和三角恒等式来求解：

cos(3u) = 4cos^3(u) - 3cos(u)

将其代入第二个积分中，得到：

-1/6 * ∫(4cos^3(u) - 3cos(u))du

利用代数法和三角恒等式化简后，得到：

-1/6 * (sin(u) + 3/4 * sin(3u)) + C

将u = arcsin(y)代回原式，得到最终答案：

-1/6 * (y * √(1-y^2) + 3/4 * √(1-y^2)^3) + C

其中，C为积分常数。

相关问题

计算∫(0,1)dx∫(0,根号x)(e^x/x-e^(y^2)/根号x)dy

首先，将被积函数改写为：

f(x,y) = e^x/x - e^(y^2)/√x

然后，先对 y 进行积分，得到：

∫(0,根号x) [e^x/x - e^(y^2)/√x] dy
= [e^x/x * y - e^(y^2)/√x * √x]_0^√x
= e^x/x * √x - e^x/x + 1

将此结果代入对 x 的积分式中，得到：

∫(0,1) [e^x/x * √x - e^x/x + 1] dx
= ∫(0,1) e^x/x * √x dx - ∫(0,1) e^x/x dx + ∫(0,1) dx
= 2√π - Γ(0,1) + 1

其中，Γ(0,1) 表示不完全伽玛函数，可以用数值积分的方式进行计算。

设I=∫∫根号（R^2-x^2-y^2）dxdy，D是由x^2+y^2=R^2所围的闭区域，则I=？A.1/9R^3（3π-4） B.0 C.-1/9R^3（3π-4）D.2/3πR^3

我们可以使用极坐标变量来计算该积分。设$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则有$dxdy=rdrd\theta$。当$x^2+y^2=R^2$时，$r=R$，因此积分区域变为$0\leq r\leq R$，$0\leq \theta \leq 2\pi$。

于是，原式可以写成：

$$
\begin{aligned}
I &= \iint_D \sqrt{R^2-x^2-y^2}\ dxdy \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr\ d\theta \\
&= 2\pi \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr \\
&= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{R^2} \sqrt{R^2-u}\ du \quad (令u=R^2-r^2)\\
&= \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (R^2)^{\frac{3}{2}} \\
&= \frac{1}{3}\pi R^3
\end{aligned}
$$

因此，答案为D. $I=2/3\pi R^3$。