根号 1-x方-y方可不可微

这是一个隐函数，可以使用偏导数求解可微性。

对于 $y$，我们求偏导数：

$$\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{1-x^2-y^2}=-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$$

对于 $x$，我们求偏导数：

$$\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1-x^2-y^2}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$$

显然，当 $1-x^2-y^2>0$ 时，该函数可微，否则不可微。因此，当 $x^2+y^2\leq 1$ 时，该函数可微；当 $x^2+y^2>1$ 时，该函数不可微。

相关问题

计算根号下x-x²的积分

好的，让我给你解答一下。具体步骤如下：

首先，我们可以将根号下x-x²表示成x的函数形式，即：

根号下x-x² = 根号下(1/4 - (x-1/2)²)

然后，我们进行换元，假设 u = x - 1/2，那么当 x = u + 1/2 时，则原积分可化为：

∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du

接下来，我们可以使用反三角函数公式进行代换，设 u = 1/2 sinθ，则有 du = 1/2 cosθ dθ，同时注意到当 x = 0 时，u = -1/2，当 x = 1 时，u = 1/2，因此积分上下限变为 -π/2 和 π/2，得到：

∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
= ∫√(1/4 - (1/2 sinθ)²) (1/2 cosθ) dθ
= 1/2 ∫cos²θ dθ

最后，我们可以使用常用积分公式 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/2，得到原积分的答案为：

∫根号下x-x² dx = 1/2 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/4 + c

其中，θ 的取值范围为 [-π/2, π/2]，而 c 为积分常数。

y^2根号（1-y^2）对y求积分

这是一个常见的三角函数积分，可以通过代换法来求解。

令y = sin(u)，则dy = cos(u) du，根号（1-y^2）= cos(u)。

将y = sin(u)和根号（1-y^2）= cos(u)代入原式中，得到：

∫y^2根号（1-y^2）dy = ∫sin^2(u)cos(u)du

利用三角恒等式sin^2(u) = (1-cos(2u))/2，将原式改写为：

∫(1-cos(2u))/2 * cos(u)du

展开后得到：

1/2 * ∫cos(u)du - 1/2 * ∫cos(3u)du

对于第一个积分，直接积分得到sin(u)。对于第二个积分，可以使用代数法和三角恒等式来求解：

cos(3u) = 4cos^3(u) - 3cos(u)

将其代入第二个积分中，得到：

-1/6 * ∫(4cos^3(u) - 3cos(u))du

利用代数法和三角恒等式化简后，得到：

-1/6 * (sin(u) + 3/4 * sin(3u)) + C

将u = arcsin(y)代回原式，得到最终答案：

-1/6 * (y * √(1-y^2) + 3/4 * √(1-y^2)^3) + C

其中，C为积分常数。