x的平方乘根号下1减x的平方的积分

要计算该积分，我们可以先将根号下的表达式进行化简。根据乘法公式，我们有：

根号下(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2) = (1-x)(1+x)^(1/2)

因此，我们可以将积分表达式改写为：

∫x^2 * (1-x)(1+x)^(1/2) dx

接下来，我们可以使用分部积分法来计算该积分。分部积分公式为：

∫u v dx = u ∫v dx - ∫(u' ∫v dx) dx

选择 u = x^2 和 v = (1-x)(1+x)^(1/2)，然后计算 u' 和 ∫v dx：

u' = 2x
∫v dx = (1/3)(1-x^2)^(3/2)

现在，我们可以将这些结果代入分部积分公式中：

∫x^2 * (1-x)(1+x)^(1/2) dx = x^2 * (1/3)(1-x^2)^(3/2) - ∫(2x * (1/3)(1-x^2)^(3/2)) dx

对于第二项，可以通过换元法来计算。令 u = 1-x^2，那么 du = -2xdx。将这些代入并进行简化：

- ∫(2x * (1/3)(1-x^2)^(3/2)) dx = -∫(1/3)u^(3/2) du
= -(1/3)(2/5)u^(5/2) + C
= -(2/15)(1-x^2)^(5/2) + C

将结果代回到原来的表达式中：

x^2 * (1/3)(1-x^2)^(3/2) - -(2/15)(1-x^2)^(5/2) + C

最后，我们得到了积分的结果：

(1/3)x^2(1-x^2)^(3/2) + (2/15)(1-x^2)^(5/2) + C