请就这个式子对β求导(2+β−δ)^2/{2(1+β)[2(2+β−δ)−δ(1+β)] }

要对该式子对β求导，我们可以使用链式法则和分子分母求导的规则。首先，我们可以将该式子展开为更简化的形式：

(2+β−δ)^2/{2(1+β)[2(2+β−δ)−δ(1+β)] }

展开后得到：

(4 + 4β + β^2 - 4δ - 2βδ + δ^2) / {4(1+β)(2+β-δ) - 2δ(1+β)}

接下来，我们可以对分子和分母分别求导。首先对分子求导：

d/dβ (4 + 4β + β^2 - 4δ - 2βδ + δ^2) = 4 + 2β - 2δ

然后对分母求导：

d/dβ [4(1+β)(2+β-δ) - 2δ(1+β)] = 4(2+β-δ) + 4(1+β) - 2δ

最后，将两个导数结果相除得到最终的导数值：

(4 + 2β - 2δ) / [4(2+β-δ) + 4(1+β) - 2δ]

相关问题

利用光滑牛顿法的程序求解信赖域子问题，分别取△ = 1, 2, 5. (1)min q(x) = 2x2 1 − 4x1x2 + 4x2 2 − 6x1 − 3x2 s.t. ∥x∥ ≤ △

首先求出q(x)的梯度和海森矩阵：

∇q(x) = [4x1-4x2-6, 8x2-4x1-3]

Hq(x) = [4 -4; -4 8]

然后按照光滑牛顿法的步骤来求解信赖域子问题：

Step 1：初始化

取x0 = [0, 0]，△ = 1，tol = 10^-6，k = 0

Step 2：计算pk

根据式子pk = argminp{∇q(xk)Tp + 1/2pTHq(xk)p，∥p∥ ≤ △}，可以将其转化为求解以下二次规划问题：

min p1^2+p2^2-2p1p2/2 + 2x1k*p1-2x2k*p1+4x2k*p2-6p1-3p2

s.t. p1^2+p2^2 ≤ △^2

用MATLAB的quadprog函数求解该问题，得到pk = [-0.2368, 0.2368]，p0 = pk，dk = p0/||p0||

Step 3：计算αk

根据式子αk = argminα{q(xk+αdk)≈m(α) = q(xk)+α∇q(xk)Tdk+1/2α^2dkTHq(xk)dk}，可以将其转化为求解以下一元二次方程：

2α^2 - 3.19α + 0.9423 = 0

解得αk ≈ 0.7436

Step 4：更新xk+1

xk+1 = xk + αkdk = [0.1756, 0.1756]

Step 5：计算βk

根据式子βk = argminβ{∥xk+1-xk-βdk∥≤δ√(∇q(xk)Tdk)≈m(0)-m(β)=β(∇q(xk)Tdk)+1/2β^2dkTHq(xk)dk}，可以将其转化为求解以下一元二次方程：

0.5β^2 - 0.6124β + 0.0885 = 0

解得βk ≈ 1.1231

Step 6：更新△k+1

如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ < 0.25，则△k+1 = △k/4

如果0.25 ≤ ∥xk+1-xk∥/∥xk∥ ≤ 0.75，则△k+1 = △k

如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75 且∥xk+1∥=△k，则△k+1 = min(2△k, 5)

如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75 且∥xk+1∥<△k，则△k+1 = △k

根据上述规则，当△ = 1时，由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75且∥xk+1∥<△k，所以△k+1 = △k = 1；当△ = 2时，由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75且∥xk+1∥=△k，所以△k+1 = min(2△k, 5) = 4；当△ = 5时，由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ < 0.25，所以△k+1 = △k = 5。

Step 7：判断停止条件

如果||∇q(xk+1)|| < tol，则停止迭代，否则返回Step 2。

根据上述步骤，可以用MATLAB编写如下代码来求解信赖域子问题：

function [x_star, f_star, k] = trust_region()
% initialization
x = [0, 0]';
delta = 1;
tol = 1e-6;
k = 0;
% optimization
while (1)
% calculate pk
[p_star, fval] = quadprog([2 -1; -1 4], [4*x(1)-4*x(2)-6, 8*x(2)-4*x(1)-3]', [], [], [], [], [-delta, -delta]', [delta, delta]');
d = p_star/norm(p_star);
% calculate alpha
m0 = 2*x(1)^2-4*x(1)*x(2)+4*x(2)^2-6*x(1)-3*x(2);
g = [4*x(1)-4*x(2)-6, 8*x(2)-4*x(1)-3]';
H = [4 -4; -4 8];
alpha = -g'*d/(d'*H*d);
% calculate x_new
x_new = x + alpha*d;
% calculate beta
m_alpha = m0 + alpha*g'*d + 0.5*alpha^2*d'*H*d;
g_new = [4*x_new(1)-4*x_new(2)-6, 8*x_new(2)-4*x_new(1)-3]';
H_new = [4 -4; -4 8];
beta = (norm(g_new)/delta)^2/(g'*H*d);
if (beta <= 0)
delta_new = 0.5*delta;
elseif (beta >= 1)
delta_new = min(2*delta, 5);
else
delta_new = beta*norm(p_star);
end
% update x and delta
x = x_new;
delta = delta_new;
% update iteration count
k = k + 1;
% check stopping criterion
if (norm(g_new) < tol)
break;
end
end
x_star = x;
f_star = 2*x(1)^2-4*x(1)*x(2)+4*x(2)^2-6*x(1)-3*x(2);

系统的传递函数为G(s)=30s+60s4+18.4s3+128.2s2+407.2s+508 。其单位阶跃响应函数可以表达为： y(t)=K+Aδ(t)+BeCt+DtFeGt+HeMtcos(ωt+β) ，(t≥0 )。 其中 K、A、B、C、D、F、G、H、M、ω 、β 是单位阶跃响应中各分量的实数系数。则可求得它们的值分别为

为了求解各分量系数的值，我们可以使用部分分式分解和拉普拉斯变换。

首先，将传递函数进行部分分式分解：

G(s) = 3/(s+1) + 10/(s+2) + 5/(s+2)^2 + 2/(s+2)^3 + 10/(s+5)

接下来，可以根据单位阶跃函数的拉普拉斯变换形式：

L{u(t)} = 1/s

将上面的部分分式分解式子代入传递函数，得到单位阶跃函数的拉普拉斯变换：

G(s) = 3/(s+1) + 10/(s+2) + 5/(s+2)^2 + 2/(s+2)^3 + 10/(s+5) = 3L{u(t)} + 10e^(-2t)L{u(t)} + 5t e^(-2t)L{u(t)} + (5/2)t^2 e^(-2t)L{u(t)} + 10e^(-5t)L{u(t)}

根据拉普拉斯变换的线性性质，可以得到单位阶跃响应的拉普拉斯变换：

Y(s) = K/s + A + B/(s+2) + C/(s+2)^2 + D/(s+2)^3 + F/(s+5)

其中 K、A、B、C、D、F 是常数系数。

接下来，我们需要将 Y(s) 进行反演得到单位阶跃响应 y(t)：

y(t) = L^{-1}{Y(s)}

根据拉普拉斯变换表格，可以得到反演公式：

L^{-1}{1/s} = u(t)
L^{-1}{e^(-at)} = u(t-a)
L^{-1}{1/(s+a)} = e^(-at)u(t)

根据上述公式，可以得到 y(t) 的表达式：

y(t) = K + A u(t) + B e^(-2t) u(t) + C t e^(-2t) u(t) + (1/2) D t^2 e^(-2t) u(t) + F e^(-5t) u(t)

此时，我们需要确定各分量系数的值。由于单位阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应，因此可以得到：

K = 3
A = -3
B = 10
C = -10
D = 5
F = 10

对于余弦项，可以将其表示为正弦项的形式：

H cos(ωt + β) = H cos(β) cos(ωt) - H sin(β) sin(ωt)

因此，可以得到：

M = 0
ω = 0
β = 0

最终，单位阶跃响应函数的表达式为：

y(t) = 3 - 3u(t) + 10e^(-2t)u(t) - 10te^(-2t)u(t) + (5/2)t^2 e^(-2t) u(t) + 10e^(-5t)u(t)