用Python写高斯消元法的计算步骤

高斯消元法是一种用于解线性方程组的算法。它通过行变换将线性方程组的系数矩阵转换为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵，进而求解方程组。以下是使用Python实现高斯消元法的基本步骤：

1. 初始化：首先将线性方程组的增广矩阵写成系数矩阵和常数项列向量的组合，即 `[A|b]` 的形式。

2. 前向消元：
- 从左上角开始，对于每一个主元（对角线上的元素），进行以下步骤：
- 将主元所在行与当前行交换，确保主元不为零（必要时进行行交换）。
- 使用当前主元消去其下方所有列的元素，即对于每一行，通过加减乘除操作使得当前列除了主元外的其他元素变为0。

3. 回代求解：
- 从最后一行开始，利用最后一行的非零元及其等式关系，依次向上求解未知数的值。

4. 检查解的存在性和唯一性：
- 如果在前向消元过程中发现某一主元为零，且其下方也全为零，则方程组无解或有无穷多解，需要特殊处理。
- 如果主元全不为零，则方程组有唯一解。

下面是一个简单的高斯消元法的Python实现框架：

def gaussian_elimination(A, b):
    # A是系数矩阵，b是常数项列向量
    n = len(b)
    # 扩展增广矩阵
    A_b = [row[:] + [b[i]] for i, row in enumerate(A)]
    
    for i in range(n):
        # 寻找主元
        max_row = max(range(i, n), key=lambda r: abs(A_b[r][i]))
        # 如果主元接近0，则方程无解或有无穷多解
        if A_b[max_row][i] == 0:
            raise ValueError("The system does not have a unique solution.")
        # 将主元所在行与当前行交换
        A_b[i], A_b[max_row] = A_b[max_row], A_b[i]
        # 将主元下方的元素变为0
        for j in range(i+1, n):
            ratio = A_b[j][i] / A_b[i][i]
            for k in range(i, n+1):
                A_b[j][k] -= ratio * A_b[i][k]
    
    # 回代求解
    x = [0] * n
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = A_b[i][n] / A_b[i][i]
        for j in range(i-1, -1, -1):
            A_b[j][n] -= A_b[j][i] * x[i]
    return x

# 示例使用
A = [[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]]
b = [8, -11, -3]
solution = gaussian_elimination(A, b)
print("Solution:", solution)