用matlab编写程序求e-x^2(1-2x)的极值

在MATLAB中，你可以使用`fminbnd`函数来寻找无约束函数的极值。对于给定的问题 `e^-x^2*(1-2x)`，首先需要编写一个匿名函数（`@` 符号定义），然后调用`fminbnd`函数。以下是步骤：

1. 定义匿名函数，记作 `objectiveFunction`：

objectiveFunction = @(x) -exp(-x.^2) .* (1 - 2*x);

这里 `-` 是为了找到最小值，因为MATLAB默认寻找最小值，如果想要最大值，则去掉负号。

2. 设置搜索范围，例如从 -10 到 10：

a = -10;
b = 10;

3. 调用 `fminbnd` 函数：

result = fminbnd(objectiveFunction, a, b);

4. 打印结果：

[minValue, minLocation] = fminbnd(objectiveFunction, a, b);
fprintf('The minimum value is %f at x = %f.\n', minValue, minLocation);

运行以上代码，你会得到该函数在指定范围内的一个局部极小值。

相关问题

求下列函数极值y=2x^3-3x^2和y=exp(-x^2)(1-2x),并写出完整的代码来求解这个问题

要找到两个给定函数 \( y = 2x^3 - 3x^2 \) 和 \( y = e^{-x^2}(1-2x) \) 的极值点，我们可以使用Matlab中的`fminbnd`函数，该函数用于在一个指定区间内寻找单峰函数的最大或最小值。对于多项式函数，可能还有其他更直接的方法（例如对数导数），但对于非线性函数，`fminbnd`是一个不错的选择。

首先，我们需要编写一个函数来计算每个函数的值，然后利用`fminbnd`进行求解。下面是完整的代码：

% 定义两个函数
fun1 = @(x) 2*x.^3 - 3*x.^2;
fun2 = @(x) exp(-x.^2) .* (1 - 2*x);

% 求第一个函数的极值
a1 = -Inf; b1 = Inf; % 默认区间，如果没有特定范围，可适当调整
[x1, fval1] = fminbnd(fun1, a1, b1);

% 求第二个函数的极值
a2 = -Inf; b2 = Inf; % 同理
[x2, fval2] = fminbnd(fun2, a2, b2);

% 显示结果
fprintf('Function 1 has an extremum at x1 = %.6f with value f(x1) = %.6f.\n', x1, fval1);
fprintf('Function 2 has an extremum at x2 = %.6f with value f(x2) = %.6f.\n', x2, fval2);

运行这段代码后，你会得到两个函数分别对应的极值点及其数值。注意，如果你有这些函数的具体定义域（比如因为函数在某个端点无定义或者取得极大值/极小值），请将 `a1`, `b1`, `a2`, `b2` 设置为相应的边界值。

将积分区间分成20等分，使用B样条基函数编写matlab程序求泛函极值的近似解。其中积分区间为y范围[0,1]，x范围[a,b]。泛函为$J(y)=int_{a}^{b}[(\frac{dy}{dx}^2-y^2-2xy]dx$，且y(0)=y(1)=0

首先，我们需要将区间 $[a,b]$ 分成 $20$ 等分，即得到 $21$ 个节点，节点间距为 $h=\frac{b-a}{20}$，节点 $x_i=a+ih$，$i=0,1,\cdots,20$。

然后，我们需要选择 B 样条基函数，这里选择三次 B 样条基函数，即

$$
N_{i,3}(x) = \frac{1}{6h^3} \begin{cases}
(x-x_{i-2})^3, &x_{i-2} \le x < x_{i-1},\\
3(x-x_{i-2})^3-6h(x-x_{i-2})^2+4h^2(x-x_{i-2}), &x_{i-1} \le x < x_{i},\\
-3(x-x_{i})^3+6h(x-x_{i})^2-4h^2(x-x_{i}), &x_{i} \le x < x_{i+1},\\
(x-x_{i})^3, &x_{i+1} \le x < x_{i+2},\\
0, &\text{otherwise}.
\end{cases}
$$

接下来，我们需要构造线性方程组来求解泛函的极值。令 $Y=[y_1, y_2,\cdots, y_{20}]^T$ 为待求解的向量，$A$ 为系数矩阵，$b$ 为右侧常数向量，则线性方程组为 $A Y = b$，其中

$$
\begin{aligned}
A_{ij} &= \int_{a}^{b} N_{i,3}'(x) N_{j,3}'(x) dx - \int_{a}^{b} N_{i,3}(x) N_{j,3}(x) dx - 2\int_{a}^{b} N_{i,3}(x) N_{j,3}(x) x dx,\\
b_i &= -\int_{a}^{b} N_{i,3}(x) x dx.
\end{aligned}
$$

最后，我们可以使用 MATLAB 中的线性代数工具箱求解线性方程组，得到泛函的近似极值。

下面是 MATLAB 代码实现：

% 积分区间分成20等分
a = 0; b = 1;
h = (b-a)/20;
x = a:h:b;

% 三次B样条基函数
N = @(i, x) 1/(6*h^3)* ...
    ( (x-x(i-2)).^3 .* (x>=x(i-2)&x<x(i-1)) + ...
      (3*(x-x(i-2)).^3 - 6*h*(x-x(i-2)).^2 + 4*h^2*(x-x(i-2))) .* (x>=x(i-1)&x<x(i)) + ...
      (-3*(x-x(i)).^3 + 6*h*(x-x(i)).^2 - 4*h^2*(x-x(i))) .* (x>=x(i)&x<x(i+1)) + ...
      (x-x(i+1)).^3 .* (x>=x(i+1)&x<x(i+2)) );

% 构造线性方程组
A = zeros(20);
b = zeros(20,1);
for i = 1:20
    for j = 1:20
        A(i,j) = integral(@(t) diff(N(i,t)).*diff(N(j,t))-(N(i,t).*N(j,t)+2.*N(i,t).*N(j,t).*t),a,b);
    end
    b(i) = -integral(@(t) N(i,t).*t,a,b);
end

% 求解线性方程组
Y = A\b;

% 画出泛函的近似解
xi = linspace(a,b,100);
yi = spline(x,[0; Y; 0],xi);
J = integral(@(x) (diff(yi).^2-yi.^2-2.*x.*yi).^2,a,b);
fprintf('J(y) = %f\n', J);
plot(xi, yi)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Approximate solution of J(y)')