在《数字信号处理》第三版中，如何使用差分方程来判断线性时不变系统的因果性和稳定性？请结合具体示例进行说明。

数字信号处理中的差分方程是描述线性时不变系统输入与输出关系的一种方法。要使用差分方程判断系统的因果性和稳定性，首先需要理解系统响应的差分方程形式。一个典型的线性时不变系统的差分方程可以表示为：

参考资源链接：[《数字信号处理》（第三版）课后答案解析](https://wenku.csdn.net/doc/32i8eof25s?spm=1055.2569.3001.10343)

\[
\sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]
\]

其中，\(y[n]\) 是系统的输出，\(x[n]\) 是输入，\(a_k\) 和 \(b_k\) 是系统参数，\(N\) 和 \(M\) 分别是输出和输入序列的阶数。

因果性判断：
一个系统是因果的，如果其输出 \(y[n]\) 在任何时刻 \(n\) 都不会依赖于未来的输入 \(x[n']\)，其中 \(n' > n\)。这意味着，所有 \(b_k\) 系数在 \(k > 0\) 时必须为零。如果差分方程右侧只包含 \(b_0 x[n]\)，则系统是因果的。

稳定性判断：
系统的稳定性通常通过其对有界输入信号的有界输出响应来判断。对于线性时不变系统，如果差分方程的所有特征根都在单位圆内，则系统是稳定的。特征根可以通过求解与差分方程相关的齐次方程的特征方程获得：

\[
\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k} = 0
\]

其中，\(z\) 是复变量。解这个方程得到的所有 \(z\) 值就是特征根。如果这些根的模都小于1，即位于复平面上的单位圆内，则系统的响应将是绝对可和的，从而保证了系统的稳定性。

例如，考虑一个简单的一阶差分方程系统：

\[
y[n] = 0.5y[n-1] + x[n]
\]

该系统的特征方程为 \(0.5z^{-1} = 1\)，其特征根为 \(z = 2\)，不满足稳定性条件，因此系统是不稳定的。同时，由于 \(b_0\) 不为零而 \(b_k\) 对于 \(k > 0\) 都为零，我们可以判断系统是因果的。

为了更深入地理解和应用这些概念，建议参考《数字信号处理》（第三版）的课后答案解析，该资源提供了详细的章节习题解答，帮助学习者巩固理论知识并应用于实际问题中。

参考资源链接：[《数字信号处理》（第三版）课后答案解析](https://wenku.csdn.net/doc/32i8eof25s?spm=1055.2569.3001.10343)