C++ 求解两组空间数据 仿射变换参数代码
时间: 2023-10-16 09:10:02 浏览: 49
假设有两组空间数据,分别为点集 $A$ 和点集 $B$,其中点集 $A$ 经过了某个仿射变换 $T$ 后得到了点集 $B$,现在需要求解仿射变换参数。
我们可以将点集 $A$ 和点集 $B$ 中的每个点看作一个向量,然后通过最小二乘法求解仿射变换参数。
具体地,我们可以将仿射变换 $T$ 表示为以下形式:
$$
T = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
其中 $a,b,c,d,e,f$ 是待求解的参数。
对于每个点 $(x_i,y_i)$,它在经过仿射变换 $T$ 后的坐标为:
$$
\begin{bmatrix}
x'_i \\
y'_i \\
1
\end{bmatrix} = T \begin{bmatrix}
x_i \\
y_i \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_i \\
y_i \\
1
\end{bmatrix}
$$
令 $p_i = (x_i,y_i)$,$q_i = (x'_i,y'_i)$,则上式可以写成:
$$
\begin{bmatrix}
x'_i \\
y'_i
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a & b \\
d & e
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_i \\
y_i
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
c \\
f
\end{bmatrix}
$$
将所有点的坐标代入上式得到:
$$
\begin{bmatrix}
x'_1 & y'_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
x'_2 & y'_2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x'_n & y'_n & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & x'_1 & y'_1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & x'_2 & y'_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & x'_n & y'_n & 1 \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c \\
d \\
e \\
f
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n \\
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{bmatrix}
$$
设左边的矩阵为 $A$,右边的向量为 $b$,则仿射变换参数可以通过求解以下最小二乘问题得到:
$$
\min_{x} \|Ax-b\|^2
$$
其中 $\|\cdot\|$ 表示欧几里得范数。
可以使用奇异值分解(SVD)方法求解上述最小二乘问题。
以下是求解仿射变换参数的 C++ 代码示例:
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
// 求解仿射变换参数
bool solveAffineTransform(const vector<Vector2d>& A, const vector<Vector2d>& B, Matrix3d& T)
{
const int n = A.size();
if (B.size() != n || n < 3) {
return false;
}
// 构造最小二乘问题的矩阵 A 和向量 b
MatrixXd A_mat(2 * n, 6);
VectorXd b_vec(2 * n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
const double x = A[i](0);
const double y = A[i](1);
const double x_ = B[i](0);
const double y_ = B[i](1);
A_mat.row(i) << x, y, 1, 0, 0, 0;
A_mat.row(i + n) << 0, 0, 0, x, y, 1;
b_vec(i) = x_;
b_vec(i + n) = y_;
}
// 使用奇异值分解求解最小二乘问题
JacobiSVD<MatrixXd> svd(A_mat, ComputeThinU | ComputeThinV);
const VectorXd x = svd.solve(b_vec);
// 将参数转化为仿射变换矩阵
T << x(0), x(1), x(2),
x(3), x(4), x(5),
0, 0, 1;
return true;
}
int main()
{
// 示例数据
vector<Vector2d> A = { Vector2d(0, 0), Vector2d(1, 0), Vector2d(0, 1) };
vector<Vector2d> B = { Vector2d(1, 2), Vector2d(2, 2), Vector2d(1, 3) };
Matrix3d T;
if (solveAffineTransform(A, B, T)) {
cout << "Affine transform matrix:\n" << T << endl;
} else {
cout << "Failed to solve affine transform." << endl;
}
return 0;
}
```
注意,上述代码中使用了 Eigen 库进行矩阵运算。如果你没有安装 Eigen 库,则需要先下载并安装。
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