求 1+x−x22!+x33!+⋯⋯+(−1)n−2xn−1(n−1)!+(−1)n−1xnn!的前 n项和

根据引用和引用，我们可以得到：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{1+x}&=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+o(x^n)\\
\sin x&=\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}{u_{sk}}\\
\cos x&=\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}{u_{ck}}
\end{aligned}
$$
其中 $u_{sk}$ 和 $u_{ck}$ 分别表示正弦级数和余弦级数的系数。根据欧拉公式，我们可以得到：
$$
e^{ix}=\cos x+i\sin x=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(ix)^k}{k!}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\cdots+\frac{(ix)^n}{n!}+o(x^n)
$$
将 $x$ 替换为 $-x$，我们可以得到：
$$
e^{-ix}=\cos x-i\sin x=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-ix)^k}{k!}=1-ix+\frac{(-ix)^2}{2!}+\cdots+\frac{(-ix)^n}{n!}+o(x^n)
$$
将上述两个式子相加，我们可以得到：
$$
\begin{aligned}
e^{ix}+e^{-ix}&=2\cos x\\
&=2\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\\
&=2\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\right)
\end{aligned}
$$
因此，我们可以得到：
$$
\begin{aligned}
\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}&=\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)-\frac{1}{2i}\left(1-x^2+\frac{x^4}{3!}-\cdots+(-