7-2 求矩阵的局部极大值 (15 分)

### 回答1：
题目描述：

给定一个 $n\times m$ 的矩阵 $A$，求出所有的局部极大值。

解题思路：

首先，我们需要明确什么是局部极大值。对于矩阵中的一个元素 $A_{i,j}$，如果它比它周围的所有元素都大，那么它就是一个局部极大值。

接下来，我们可以遍历矩阵中的每一个元素，判断它是否是局部极大值。具体地，对于矩阵中的一个元素 $A_{i,j}$，我们可以分别判断它上下左右四个方向的元素是否比它小。如果是，那么 $A_{i,j}$ 就是一个局部极大值。

需要注意的是，对于矩阵中的边界元素，我们只需要判断它周围的元素是否比它小即可。

最后，我们可以将所有的局部极大值保存下来，输出即可。

参考代码：

n, m = map(int, input().split())
A = []
for i in range(n):
    row = list(map(int, input().split()))
    A.append(row)

res = []
for i in range(n):
    for j in range(m):
        if i ==  and j == :  # 左上角元素
            if A[i][j] > A[i+1][j] and A[i][j] > A[i][j+1]:
                res.append((i, j))
        elif i ==  and j == m-1:  # 右上角元素
            if A[i][j] > A[i+1][j] and A[i][j] > A[i][j-1]:
                res.append((i, j))
        elif i == n-1 and j == :  # 左下角元素
            if A[i][j] > A[i-1][j] and A[i][j] > A[i][j+1]:
                res.append((i, j))
        elif i == n-1 and j == m-1:  # 右下角元素
            if A[i][j] > A[i-1][j] and A[i][j] > A[i][j-1]:
                res.append((i, j))
        elif i == :  # 第一行元素
            if A[i][j] > A[i+1][j] and A[i][j] > A[i][j-1] and A[i][j] > A[i][j+1]:
                res.append((i, j))
        elif i == n-1:  # 最后一行元素
            if A[i][j] > A[i-1][j] and A[i][j] > A[i][j-1] and A[i][j] > A[i][j+1]:
                res.append((i, j))
        elif j == :  # 第一列元素
            if A[i][j] > A[i-1][j] and A[i][j] > A[i+1][j] and A[i][j] > A[i][j+1]:
                res.append((i, j))
        elif j == m-1:  # 最后一列元素
            if A[i][j] > A[i-1][j] and A[i][j] > A[i+1][j] and A[i][j] > A[i][j-1]:
                res.append((i, j))
        else:  # 中间元素
            if A[i][j] > A[i-1][j] and A[i][j] > A[i+1][j] and A[i][j] > A[i][j-1] and A[i][j] > A[i][j+1]:
                res.append((i, j))

for i, j in res:
    print(i, j)

时间复杂度：$O(nm)$。

空间复杂度：$O(nm)$。

### 回答2：
本题是一个非常典型的矩阵极值问题，它要求我们找到一个矩阵中的局部极大值。在矩阵中，局部极大值指的是一个元素比它的上下左右四个元素都要大。那么我们该如何求解呢？

首先，我们需要明确一个概念：矩阵的极值问题可以转化为图论中的最大权闭合子图问题。具体来说，我们可以将矩阵中的每一个元素视为一个节点，边权则由当前节点和其相邻的上下左右四个节点的值来确定。因此，某个节点是局部极大值，当且仅当其所在的节点对应的子图是一个最大权闭合子图。

接下来，我们可以采用网络流算法对最大权闭合子图进行求解。具体来说，我们可以将矩阵中的每一个节点拆分为两个节点，一个表示该节点的入点，另一个表示该节点的出点。然后，对于每个节点，我们可以在其入点和出点之间连一条边，边权为该节点的值。此外，对于相邻的节点（上下左右四个方向），我们可以在它们的出点和入点之间连一条容量为正无穷的边，以表示它们之间是相互可达的。

最后，我们需要求解的就是这张有向图中的最大权闭合子图。这可以通过求解最小割来实现，即先将源点和汇点各自连向所有入点和出点，边权为其容量；然后再将所有出点和入点连接起来，边权为其对应节点的权值。这样，求解的最小割即为最大权闭合子图的权值和。

综上所述，以上就是求解矩阵局部极大值的一种常用方法。需要注意的是，该方法的时间复杂度为 O(nmlognm)，其中 n 和 m 分别为矩阵的行数和列数。因此，在实际应用中，需要根据具体问题的规模和复杂程度选择合适的算法。

### 回答3：
矩阵的局部极大值指的是矩阵中一个元素在其周围的所有元素中具有最大值的情况。在矩阵中，一个元素的周围包括其上下左右四个方向的相邻元素。如果这个元素在其周围四个方向的相邻元素中均小于它，则该元素为矩阵的局部极大值。

求矩阵的局部极大值，可以通过遍历矩阵中每个元素来实现。对于每个元素，判断其周围四个相邻元素的大小，如果均小于该元素，则该元素为局部极大值。具体操作步骤如下：

1. 遍历矩阵中的每个元素。
2. 对于每个元素，判断其是否为边界元素。如果是边界元素，则只考虑其相邻的非边界元素。
3. 对于非边界元素，判断其周围四个相邻元素的大小。如果均小于该元素，则该元素为局部极大值。
4. 将所有的局部极大值元素存储下来。

遍历矩阵的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为矩阵的行数和列数。在判断每个元素的周围相邻元素大小时，时间复杂度为O(1)，因此总时间复杂度为O(mn)。由此可知，在矩阵规模较大时，该算法的时间复杂度较高，因此需要进一步优化算法。