利用LU分解法和迭代法求解如下方程组 3x1+5x2-6x3=1 5x1-7x2+5x3=-3 7x1+11x2-8x3=10

利用LU分解法和迭代法求解线性方程组是一种数值计算技术，适用于大型稀疏矩阵的情况，因为直接解法可能会非常耗时。对于给定的系数矩阵A和常数向量b：

[ 3  5 -6 ]   [ x1 ]   [ 1 ]
[ 5 -7  5 ] * [ x2 ] = [ -3 ]
[ 7 11 -8 ]   [ x3 ]   [ 10 ]

首先，我们要对这个矩阵做LU分解，将它分解成两个下三角矩阵L（单位低阶三角形矩阵）和上三角矩阵U（非零元素都在主对角线上及上方）的形式：

L * U = A

然后我们可以用迭代法（例如GMRES、CG等）逐步求解。步骤如下：

1. 初始化猜测解向量x^0通常设为零向量。
2. 使用当前的LU分解和已知的b，迭代更新解向量：

   z = L^T * b
   x^{k+1} = x^k + M^{-1}(z)

其中M是U的一个修改版（例如在实际应用中可能加上某种阻尼），防止系统不稳定。

3. 迭代直到达到预定的精度标准（比如解向量改变很小或者残差足够小）。

注意，LU分解通常是预先完成的，而迭代则在每次求解新问题时进行。这有助于减少总计算时间，并且适合处理大型未知数数量的问题。