利用LU分解法和迭代法求解如下方程组 3x1+5x2-6x3=1 5x1-7x2+5x3=-3 7x1+11x2-8x3=10
时间: 2024-10-22 08:06:34 浏览: 42
利用LU分解法和迭代法求解线性方程组是一种数值计算技术,适用于大型稀疏矩阵的情况,因为直接解法可能会非常耗时。对于给定的系数矩阵A和常数向量b:
```
[ 3 5 -6 ] [ x1 ] [ 1 ]
[ 5 -7 5 ] * [ x2 ] = [ -3 ]
[ 7 11 -8 ] [ x3 ] [ 10 ]
```
首先,我们要对这个矩阵做LU分解,将它分解成两个下三角矩阵L(单位低阶三角形矩阵)和上三角矩阵U(非零元素都在主对角线上及上方)的形式:
```
L * U = A
```
然后我们可以用迭代法(例如GMRES、CG等)逐步求解。步骤如下:
1. 初始化猜测解向量x^0通常设为零向量。
2. 使用当前的LU分解和已知的b,迭代更新解向量:
```
z = L^T * b
x^{k+1} = x^k + M^{-1}(z)
```
其中M是U的一个修改版(例如在实际应用中可能加上某种阻尼),防止系统不稳定。
3. 迭代直到达到预定的精度标准(比如解向量改变很小或者残差足够小)。
注意,LU分解通常是预先完成的,而迭代则在每次求解新问题时进行。这有助于减少总计算时间,并且适合处理大型未知数数量的问题。
相关问题
请用Matlab代码实现这道题目:用列主元高斯-约当消去法求解方程组 x1+2x2+3x3=1 5x1+4x2-10x3=0 3x1-0.1x2+x3=2 。
在MATLAB中,你可以使用`lu`函数结合`solve`函数来解决线性方程组。列主元高斯-约当消元法是一种数值计算方法,先将矩阵转换成行最简形(行阶梯形),然后利用LU分解得到L(下三角矩阵)和U(上三角矩阵),最后通过这两个矩阵和原方程右侧向量来解出未知数。
以下是MATLAB代码实现:
```matlab
% 定义系数矩阵A和常数向量b
A = [1 2 3; 5 4 -10; 3 -0.1 1];
b = [1; 0; 2];
% 使用 lu 函数做LU分解
[L, U, P] = lu(A);
% 计算P * b,因为实际求解的是 PL * U * x = P * b
% 先对b进行行交换操作(如果需要)
if ~isequal(P', eye(size(A))) % 判断是否进行了行交换
b = P * b;
end
% 求解方程组 L * y = U * x
y = solve(U, L * b); % 解得中间变量y
% 最终解 x = inv(L) * y
x = inv(L) * y;
```
注意:`lu`函数默认会按列主元素降序进行排序,因此不需要额外处理。运行上述代码后,`x`就是所求的解。
4.线性方程组求解 分别用直接法求解方程组 2x1+x2-5x3+ x4=3 x1-5x3+7 x4=-9 2x2+x3- x4=6 x1+6x2-x3-4x4=0
这是一个4元1次线性方程组,可以使用高斯消元法或LU分解法进行求解。
我们先使用高斯消元法:
将方程组转化为增广矩阵:
| 2 -5 1 1 | 3 |
| --- | --- |
| 1 0 -5 7 | -9 |
| 0 2 -1 1 | 6 |
| 1 6 -1 -4 | 0 |
第一步,将第一行除以2得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 1 0 -5 7 | -9 |
| 0 2 -1 1 | 6 |
| 1 6 -1 -4 | 0 |
第二步,将第二行减去第一行得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 2.5 -5.5 6.5 | -10.5 |
| 0 2 -1 1 | 6 |
| 1 6 -1 -4 | 0 |
第三步,将第三行减去第一行得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 2.5 -5.5 6.5 | -10.5 |
| 0 5 -2 0.5 | 4.5 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |
第四步,将第二行除以2.5得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 -2.2 2.6 | -4.2 |
| 0 5 -2 0.5 | 4.5 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |
第五步,将第三行减去第二行的5倍得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 -2.2 2.6 | -4.2 |
| 0 0 7 -11.5 | 27 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |
第六步,将第三行除以7得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 -2.2 2.6 | -4.2 |
| 0 0 1 -1.643 | 3.857 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |
第七步,将第二行加上第三行的2.2倍得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 -1.643 | 3.857 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |
第八步,将第三行加上第二行的1.643倍得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 0 | 3.25 |
| 0 8.5 0.143 -4.5 | 1.464 |
第九步,将第三行减去第二行的0.143倍得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 0 | 3.25 |
| 0 8.5 0 -4.357 | 1.132 |
第十步,将第三行加上第四行的8.5倍得到:
| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 0 | 3.25 |
| 0 0 0 -7.275 | 28.154 |
解得:x1 = 1.5,x2 = -0.686,x3 = 3.25,x4 = -3.866。
因此,线性方程组的解为 (1.5, -0.686, 3.25, -3.866)。
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