利用矩阵的LU分解法,解如下方程组: x1+2*x2+3*x3=14 2*x1+5*x2+2*x3=18 3*x1+x2+5*x3=20
时间: 2023-11-18 14:03:54 浏览: 48
首先将方程组写成矩阵形式:Ax = b,其中:
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 2\\
3 & 1 & 5
\end{pmatrix},
x = \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix},
b = \begin{pmatrix}
14\\
18\\
20
\end{pmatrix}
$$
LU分解的过程是将矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积,即A = LU。分解的过程可以使用高斯-约旦消元法来实现。
首先,将第一行乘以2,然后减去第二行,得到新的第二行:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -4\\
3 & 1 & 5
\end{pmatrix}
$$
然后,将第一行乘以3,然后减去第三行,得到新的第三行:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -4\\
0 & -5 & -4
\end{pmatrix}
$$
接下来,将第二行乘以-5,然后加上第三行,得到新的第三行:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -4\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
$$
现在,我们得到了矩阵的LU分解:
$$
L = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
3 & -5 & 1
\end{pmatrix},
U = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & -4\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
$$
接下来,我们可以使用LU分解来求解方程组Ax=b。首先,解Ly=b,得到:
$$
y = \begin{pmatrix}
1\\
4\\
2
\end{pmatrix}
$$
然后,解Ux=y,得到:
$$
x = \begin{pmatrix}
1\\
2\\
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
因此,方程组的解为x1=1,x2=2,x3=1/2。