利用矩阵的LU分解法解方程组

LU分解是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个系数矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。其中，L中对角线上的元素均为1，U中对角线以下的元素均为0。通过LU分解可以方便地求解线性方程组。

设Ax=b，将A=LU代入得到LUx=b，令y=Ux，Ly=b，则可以先通过前代求解y，再通过回代求解x。前代和回代的具体过程如下：

前代：
1. Lz=b，其中z=y。
2. 对于第i行（i=2,3,...,n），用第i-1行消元，得到新的L和b。

回代：
1. Ux=z。
2. 对于第i行（i=n-1,n-2,...,1），用第i+1行消元，得到x。

下面是一个示例，演示如何使用LU分解求解一个3x3的线性方程组。

假设有如下的方程组：

2x + y - z = 8
-4x - 6y + 7z = -20
4x + 3y + z = 17

将系数矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：

L = [1, 0, 0;
     -2, 1, 0;
     2, -3, 1]
     
U = [2, 1, -1;
     0, -4, 3;
     0, 0, 2]

首先进行前代求解Ly=b：

y1 = b1 / L11 = 8 / 1 = 8
y2 = (b2 - L21*y1) / L22 = (-20 - (-2)*8) / (-4) = 3
y3 = (b3 - L31*y1 - L32*y2) / L33 = (17 - 2*8 - (-3)*3) / 2 = 1

然后进行回代求解Ux=y：

x3 = y3 / U33 = 1 / 2 = 0.5
x2 = (y2 - U32*x3) / U22 = (3 - (-3)*0.5) / (-4) = -0.375
x1 = (y1 - U12*x2 - U13*x3) / U11 = (8 - 1*(-0.375) - (-1)*0.5) / 2 = 3.875

因此，该方程组的解为x1=3.875，x2=-0.375，x3=0.5。