拍摄过程中像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系之间的联系和各自的解释

在拍摄过程中，有四个重要的坐标系：像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系。它们之间的联系如下：

1. 像素坐标系：像素坐标系是图像中的一个网格，每个像素都有一个唯一的坐标值表示其位置。像素坐标系是最基础的坐标系，用于表示图像中每个像素的位置。

2. 图像坐标系：图像坐标系是一个二维坐标系，用于表示图像中物体的位置和大小。图像坐标系是由像素坐标系通过相机内部参数矩阵和畸变参数转换而来的。

3. 相机坐标系：相机坐标系是相机的本地坐标系，用于表示相机的位置和方向。相机坐标系是由世界坐标系通过相机外部参数矩阵转换而来的。

4. 世界坐标系：世界坐标系是一个三维坐标系，用于表示物体在三维空间中的位置和大小。世界坐标系是相机坐标系通过旋转和平移变换而来的。

在相机拍摄过程中，图像数据首先以像素坐标系的形式存储，然后通过相机内部参数矩阵和畸变参数转换为图像坐标系。接着，通过相机外部参数矩阵将图像坐标系转换为相机坐标系，最终通过旋转和平移变换将相机坐标系转换为世界坐标系。这样，我们就可以在世界坐标系中对物体进行三维建模和分析。

相关问题

像素坐标系图像坐标系相机坐标系世界坐标系

### 不同坐标系之间的关系

#### 像素坐标系与图像坐标系的关系

像素坐标系通常用于描述图像中各像素点的位置，其原点位于图像的左上角，而图像坐标系则以图像传感器（CCD/CMOS）的中心作为原点。两者之间存在固定的偏移量以及尺度差异。

对于从像素坐标到图像坐标的变换可以表示为：

\[ \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}_{\text{image}} = K^{-1}\cdot \begin{bmatrix} x_{pixel} \\ y_{pixel} \end{bmatrix}, \]

这里 \(K\) 是相机内部参数矩阵，包含了焦距和主点位置的信息[^3]。

#### 图像坐标系与相机坐标系的关系

当考虑三维空间内的点投影至二维平面上时，则需引入相机坐标系。该过程涉及到了内外部参数矩阵的应用。外部参数定义了世界坐标系相对于相机坐标系的姿态变化；内部参数决定了如何映射这些3D点成为2D图像上的对应点。

具体来说，如果已知某一点的世界坐标\(P_w=[X,Y,Z]^T\)及其对应的图像坐标\(p_i=(u,v)\)，那么通过如下方程可实现两者的关联:

\[ p_i=K[R|t]\cdot P_w,\]

其中，\(R\)代表旋转矩阵，用来表征姿态角度的变化；\(t\)则是平移向量，指示了两个坐标系统的相对位移；\(K\)再次指代上述提到过的内参矩阵[^2]。

#### 相机坐标系与世界坐标系的关系

为了建立更广泛的空间联系，还需要理解相机坐标系与世界坐标系间的转换机制。这主要依赖于外参矩阵——即由旋转和平移组成的组合形式来完成。给定任意一固定参照物，在不同视角下所观察的结果可以通过调整这两个因素来进行预测或重建。

假设有一个点在世界坐标系下的坐标为\([x',y']\)，将其转换到相机坐标系下后的坐标记作\([x,y]\)。此过程中仅发生了绕Z轴的角度θ的旋转变换，因此有：

\[ R_z(\theta)=\begin{pmatrix}
cos{\theta}&-sin{\theta}\\
sin{\theta}& cos{\theta}
\end{pmatrix},
\quad
[x\\y]=R_z(-\theta)[x'\\y']. \]

值得注意的是，这里的z轴保持不变，意味着深度信息并未受到影响[^4]。

import numpy as np

def world_to_camera(world_point, rotation_angle):
    """将世界坐标系中的点转换为相机坐标系"""
    rz = lambda theta: np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
                                 [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
    
    camera_point = rz(-rotation_angle).dot(world_point[:2])
    return np.append(camera_point, world_point[-1])

world_point_example = np.array([10., 5., 8.])  # 示例世界坐标点 (x', y', z')
camera_point_result = world_to_camera(world_point_example, np.pi / 6)

print(f"World Point {world_point_example} -> Camera Point {camera_point_result}")

世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的转换代码

以下是世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的转换代码：

1. 世界坐标系转相机坐标系：

import numpy as np

def world_to_camera(world_point, R, t):
    """
    世界坐标系转相机坐标系
    :param world_point: 世界坐标系中的点，shape=(3,)
    :param R: 相机姿态的旋转矩阵，shape=(3, 3)
    :param t: 相机姿态的平移向量，shape=(3,)
    :return: 相机坐标系中的点，shape=(3,)
    """
    camera_point = np.dot(R, world_point) + t
    return camera_point

2. 相机坐标系转世界坐标系：

import numpy as np

def camera_to_world(camera_point, R, t):
    """
    相机坐标系转世界坐标系
    :param camera_point: 相机坐标系中的点，shape=(3,)
    :param R: 相机姿态的旋转矩阵，shape=(3, 3)
    :param t: 相机姿态的平移向量，shape=(3,)
    :return: 世界坐标系中的点，shape=(3,)
    """
    world_point = np.dot(np.linalg.inv(R), camera_point - t)
    return world_point

3. 相机坐标系转图像坐标系：

import numpy as np

def camera_to_image(camera_point, K):
    """
    相机坐标系转图像坐标系
    :param camera_point: 相机坐标系中的点，shape=(3,)
    :param K: 相机内参矩阵，shape=(3, 3)
    :return: 图像坐标系中的点，shape=(2,)
    """
    image_point = np.dot(K, camera_point[:3])
    image_point = image_point[:2] / image_point[2]
    return image_point

4. 图像坐标系转像素坐标系：

def image_to_pixel(image_point):
    """
    图像坐标系转像素坐标系
    :param image_point: 图像坐标系中的点，shape=(2,)
    :return: 像素坐标系中的点，shape=(2,)
    """
    pixel_point = np.round(image_point).astype(int)
    return pixel_point

5. 像素坐标系转图像坐标系：

def pixel_to_image(pixel_point):
    """
    像素坐标系转图像坐标系
    :param pixel_point: 像素坐标系中的点，shape=(2,)
    :return: 图像坐标系中的点，shape=(2,)
    """
    image_point = pixel_point.astype(float)
    return image_point