考虑以下线性规划问题： min ⁡ x ∈ R n ∥ x ∥ p s.t. A x = b , x∈R n min ​ ∥x∥ p ​ s.t.Ax=b, 其中 A ∈ R m × n A∈R m×n ， m ≪ n m≪n 且 r a n k ( A ) = m rank(A)=m， b ∈ R m b∈R m ， p ∈ ( 0 , 1 ) p∈(0,1)。请建立 x ∗ x ∗ 是该问题的局部最小值的必要和充分条件。在 A = [ 2 3 1 ; 2 1 3 ] A=[2 3 1;2 1 3]， b = [ 2 2 ] b=[2 2] 的情况下，请找出该问题的局部最小值集。

该线性规划问题可以表示为以下凸优化问题：
$$
\min_{x\in R^n} \left\|x\right\|_p \ \ \text{s.t.} \ \ Ax=b
$$
其中 $\left\|x\right\|_p=\left(\sum_{i=1}^n \left|x_i\right|^p\right)^{1/p}$ 是 $l_p$ 范数。

设 $x^*$ 是该问题的局部最小值，则存在一个正数 $\epsilon$，使得对于任意的满足 $\left\|x-x^*\right\|_p\leq\epsilon$ 的 $x$，都有 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$。

必要性：若 $x^*$ 是局部最小值，则对于任意的满足 $\left\|x-x^*\right\|_p\leq\epsilon$ 的 $x$，都有 $f(x)-f(x^*)\geq 0$，其中 $f(x)=\left\|x\right\|_p$ 是目标函数。由于 $f(x)$ 是凸函数，因此有：
$$
f(x)-f(x^*)\geq \nabla f(x^*)^T(x-x^*)
$$
又因为 $\nabla f(x^*)=0$，所以有 $f(x)-f(x^*)\geq 0$，即 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$。

充分性：若对于任意的满足 $\left\|x-x^*\right\|_p\leq\epsilon$ 的 $x$，都有 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$，则对于任意的满足 $Ax=b$ 的 $x$，都有：
$$
\left\|x-x^*\right\|_p=\left\|(A^{-1}b-A^{-1}b)-(A^{-1}x^*-A^{-1}b)\right\|_p=\left\|A^{-1}(x^*-x)\right\|_p\leq \epsilon
$$
其中最后一步用到了 $rank(A)=m$ 的条件。因此有 $\left\|x^*\right\|_p\leq \left\|x\right\|_p$。由于 $f(x)$ 是凸函数，因此有：
$$
f(x^*)-f(x)\geq \nabla f(x)^T(x^*-x)
$$
又因为 $\nabla f(x^*)=0$，所以有 $f(x^*)\leq f(x)$，即 $x^*$ 是局部最小值。

对于 $A=[2\ 3\ 1;2\ 1\ 3]$，$b=[2\ 2]$ 的情况，目标函数可以表示为：
$$
\min_{x_1,x_2,x_3} \left(\left|x_1\right|^p+\left|x_2\right|^p+\left|x_3\right|^p\right) \ \ \text{s.t.} \ \ \begin{bmatrix}2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\ 2\end{bmatrix}
$$
可以发现，当 $p<1$ 时，目标函数是非凸函数，因此不存在全局最小值。当 $p\geq 1$ 时，目标函数是凸函数，存在全局最小值。此时，$x^*=[0\ 0\ 2/3]$ 是该问题的全局最小值。