考虑以下凸优化问题： min┬(x,y,z)⁡〖x^2+y^2+〖(z-1)〗^2 〗 s.t x+y+z=5;x≥3,y≥2,z≥1 的原问题的最优解和最优值点，以及对偶问题的最优解和最优值点。 给出求解的python代码

这个问题是一个二维约束下的凸优化问题，目标函数是线性组合的平方，即最小化(x^2 + y^2 + (z-1)^2)，同时满足线性等式约束x + y + z = 5和非负约束x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1。

首先，这是一个拉格朗日乘数法的问题，我们需要构建拉格朗日函数：

L(x, y, z, λ, μ, ν) = x^2 + y^2 + (z-1)^2 - λ(x + y + z - 5) - μx - νy

其中λ、μ、ν是拉格朗日乘数。接下来，我们找到这个函数关于变量x, y, z的梯度等于零的点，即解出stationary points：

∂L/∂x = 2x - λ - μ = 0
∂L/∂y = 2y - λ - ν = 0
∂L/∂z = 2(z-1) - λ = 0
∂L/∂λ = x + y + z - 5 = 0
∂L/∂μ = x - 3 = 0 （因为x >= 3）
∂L/∂ν = y - 2 = 0 （因为y >= 2）

从x、y、z的方程我们可以看出x, y, z都是确定的，并且从μ和ν的方程我们知道x=3, y=2。将x, y代入第三个方程得到z。然后将结果代入到主方程得到λ。

最优解就是满足这些条件的点，而最优值则是此时的目标函数值。由于这是一个标准形式的二次规划问题，通常可以用专业的数学软件（如CVXOPT或Scipy's optimize.minimize）或者直接解上述方程组求得。

至于对偶问题，对于这种有明显等式约束的情况，对偶问题是相同的，因为我们已经有了最弱可行解（feasible solution），即x=3, y=2, z=4。对偶问题并不改变原始问题的最优值，但是形式上有所不同。

以下是用Python的cvxopt库解决这个问题的一个简化版本（假设你已经安装了cvxopt）：

import cvxopt as opt

# 定义变量和常量
x = opt.sdpvar('x')
y = opt.sdpvar('y')
z = opt.sdpvar('z')

# 目标函数和约束
objective = opt.Minimize(x**2 + y**2 + (z-1)**2)
constraints = [x + y + z == 5, x >= 3, y >= 2, z >= 1]

# 解决问题
problem = opt.Problem(objective, constraints)
solution = problem.solve()

# 获取最优解和最优值
optimal_x, optimal_y, optimal_z = solution['x'], solution['y'], solution['z']
optimal_value = solution['primal objective']

print("原问题的最优解: x =", optimal_x, ", y =", optimal_y, ", z =", optimal_z)
print("原问题的最优值:", optimal_value)

# 对于对偶问题，这里不需要额外处理，因为上面已知是最优解

记得运行这段代码前，需要先安装`cvxopt`库 (`pip install cvxopt`)。实际应用中，可能需要调整代码以适应其他数值计算工具。