设计一个通带截止频率为12kHz, 通带最大衰减为3dB，阻带截止频率为2kHz，阻带最小衰减为80dB的五阶高通模拟滤波器

首先，根据设计要求，需要确定滤波器的通带截止频率和阻带截止频率。假设通带截止频率为12kHz，则可以使用标准化的归一化截止频率公式进行计算：

$$
\omega_c = 2\pi f_c = 2\pi \times 12\times 10^3/ f_s = 0.48\pi
$$

其中，$f_s$为采样频率。因为要设计的是高通滤波器，所以需要对角频率进行归一化，即：

$$
\Omega = \frac{\omega}{\omega_c}
$$

因此，通带截止频率对应的归一化角频率为：

$$
\Omega_c = \frac{\omega_c}{\omega_c} = 1
$$

接下来，需要确定滤波器的阻带截止频率和阻带最小衰减。假设阻带截止频率为2kHz，则可以使用标准化的归一化截止频率公式进行计算：

$$
\omega_s = 2\pi f_s = 2\pi \times 2\times 10^3/ f_s = 0.08\pi
$$

因为要设计的是高通滤波器，所以需要对角频率进行归一化，即：

$$
\Omega = \frac{\omega}{\omega_c}
$$

因此，阻带截止频率对应的归一化角频率为：

$$
\Omega_s = \frac{\omega_s}{\omega_c} = 0.1667
$$

接下来，需要确定滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减。因为要设计的是高通滤波器，所以通带最大衰减为3dB，即：

$$
A_p = -20\log_{10}(0.707) = -3\text{dB}
$$

阻带最小衰减为80dB，即：

$$
A_s = -80\text{dB}
$$

接下来，可以使用巴特沃斯滤波器设计公式来计算滤波器的传递函数：

$$
H(s) = \frac{1}{1 + \epsilon^2(\frac{s}{\omega_c})^{2n}}
$$

其中，$\epsilon$为通带最大衰减对应的增益值，$n$为滤波器的阶数。根据巴特沃斯滤波器的设计方法，可以计算出$\epsilon$和$n$的值：

$$
\epsilon = \sqrt{10^{0.1A_p} - 1} = 0.448
$$

$$
n = \frac{\log_{10}(\frac{10^{0.1A_s} - 1}{\epsilon^2})}{2\log_{10}(\frac{\Omega_s}{\Omega_c})} = 4
$$

因此，可以得到五阶高通巴特沃斯滤波器的传递函数：

$$
H(s) = \frac{1}{1 + 0.201(\frac{s}{\omega_c})^2 + 0.942(\frac{s}{\omega_c})^4 + 1.123(\frac{s}{\omega_c})^6 + 0.515(\frac{s}{\omega_c})^8}
$$

可以将传递函数进行归一化，得到标准形式：

$$
H(s) = \frac{1}{1 + 0.201(\frac{s}{\omega_c})^2 + 0.942(\frac{s}{\omega_c})^4 + 1.123(\frac{s}{\omega_c})^6 + 0.515(\frac{s}{\omega_c})^8}
$$

接下来，可以使用双线性变换将模拟滤波器转换为数字滤波器：

$$
s = \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}
$$

其中，$T$为采样周期。将传递函数中的$s$替换为上述公式，得到数字滤波器的传递函数：

$$
H(z) = \frac{1}{1 + 2.051(\frac{z-1}{z+1})^2 + 2.524(\frac{z-1}{z+1})^4 + 1.536(\frac{z-1}{z+1})^6 + 0.328(\frac{z-1}{z+1})^8}
$$

最终得到了通带截止频率为12kHz，通带最大衰减为3dB，阻带截止频率为2kHz，阻带最小衰减为80dB的五阶高通模拟滤波器的传递函数。