用C语言解决这个问题:用优先队列分支定界法解决01背包问题
时间: 2023-08-31 21:35:32 浏览: 47
### 回答1:
01背包问题是指有n件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是$w_i$,价值是$v_i$。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量,且价值总和最大。这是一个典型的动态规划问题,可以用优先队列分支定界法求解。
以下是用C语言实现的代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXN 100005
typedef struct node {
int idx; // 物品编号
int w; // 物品重量
int v; // 物品价值
double bound; // 松弛上界
} Node;
Node heap[MAXN]; // 优先队列
int cnt; // 当前队列大小
int n; // 物品数量
int V; // 背包容量
int w[MAXN]; // 物品重量
int v[MAXN]; // 物品价值
int maxv; // 最大价值
int curw; // 当前重量
// 计算松弛上界
double bound(int i) {
double ans = curw;
int j;
for (j = i; j <= n; j++) {
if (ans + w[j] > V) {
break;
}
ans += w[j];
}
if (j <= n) {
ans += (V - ans) * (v[j] * 1.0 / w[j]);
}
return ans;
}
// 交换两个节点
void swap(Node *a, Node *b) {
Node tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
// 向上调整节点
void siftup(int i) {
while (i > 1 && heap[i].bound > heap[i / 2].bound) {
swap(&heap[i], &heap[i / 2]);
i /= 2;
}
}
// 向下调整节点
void siftdown(int i) {
int maxidx = i;
if (2 * i <= cnt && heap[2 * i].bound > heap[maxidx].bound) {
maxidx = 2 * i;
}
if (2 * i + 1 <= cnt && heap[2 * i + 1].bound > heap[maxidx].bound) {
maxidx = 2 * i + 1;
}
if (maxidx != i) {
swap(&heap[i], &heap[maxidx]);
siftdown(maxidx);
}
}
// 插入新节点
void insert(int idx) {
double b = bound(idx);
heap[++cnt].idx = idx;
heap[cnt].w = w[idx];
heap[cnt].v = v[idx];
heap[cnt].bound = b;
siftup(cnt);
}
// 弹出堆顶元素
int pop() {
int ret = heap[1].idx;
heap[1] = heap[cnt--];
siftdown(1);
return ret;
}
// 优先队列分支定界法
void dfs(int idx) {
if (idx > n) {
if (curw <= V && maxv < heap[1].bound) {
maxv = heap[1].bound;
}
return;
}
insert(idx + 1); // 不选第idx件物品
dfs(idx + 1);
curw += w[idx];
if (curw <= V) {
insert(idx + 1); // 选第idx件物品
dfs(idx + 1);
}
curw -= w[idx];
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &V);
int i;
for (i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
dfs(0);
printf("%d\n", (int)maxv);
return 0;
}
```
在这个代码中,我们使用了一个优先队列来维护当前所有未扩展的节点的松弛上界,以便进行分支定界。具体来说,每当我们需要扩展一个新节点时,我们计算该节点的松弛上界,并将其插入优先队列中。在搜索过程中,我们优先扩展松弛上界最大的节点,以期尽早找到最优解。
该算法的时间复杂度为$O(2^n)$,但可以通过多种优化手段(如限界函数的估计和剪枝等)来提高效率。
### 回答2:
优先队列分支定界法是一种解决优化问题的算法,可以用于求解01背包问题。下面是用C语言实现该算法的思路:
1. 首先,定义背包的容量和物品的数量,以及每个物品的重量和价值。将其存储在数组中。
2. 创建一个优先队列,用于存储搜索节点。节点包括当前物品的索引、当前背包已经装入的重量、当前背包的价值和当前剩余的价值上界。
3. 初始化优先队列,并将初始节点加入队列。初始化最大价值为0,并设置最大价值上界为当前物品的价值和剩余物品的总价值。
4. 进入循环,直到优先队列为空或者找到最优解。每次迭代时,从队列中取出一个节点。
5. 判断当前节点是否可以扩展。如果当前节点的剩余物品价值上界小于已经找到的最优解,则舍弃该节点。
6. 如果当前节点是一个叶子节点(即已经没有可选的物品),则更新最优解。
7. 否则,将当前物品放入背包中,并计算当前背包的重量和价值。计算剩余物品的总价值,并根据已经装入背包的重量和当前物品的重量,计算剩余物品的价值上界。
8. 创建两个子节点,分别是加入当前物品和不加入当前物品。将它们加入优先队列,并按照价值上界的大小进行排序。
9. 重复步骤4到步骤8,直到找到最优解或者队列为空。
10. 输出找到的最优解。
以上是用C语言解决01背包问题的优先队列分支定界法的思路。具体的实现需要使用C语言的数据结构和算法,并将算法步骤转化为相应的代码逻辑。