python 拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种基于数据点的多项式插值方法，通过在给定数据点上拟合一个多项式来估计在两个数据点之间的未知函数值。拉格朗日插值的公式如下：

$$p(x) = \sum_{i=0}^n y_i \cdot \prod_{j=0,j \neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

其中，$n$ 是数据点的数量，$x_i$ 和 $y_i$ 分别是第 $i$ 个数据点的横坐标和纵坐标，$p(x)$ 是插值多项式。

使用 Python 实现拉格朗日插值，可以按照以下步骤进行：

1. 定义数据点的横坐标和纵坐标列表。
2. 编写一个函数，接受一个横坐标值作为参数，返回在该横坐标上的插值函数值。
3. 在函数中，使用公式计算插值多项式的值，并返回该值作为插值函数的结果。

下面是一个示例代码，演示了如何使用 Python 实现拉格朗日插值：

def lagrange_interpolation(x, x_list, y_list):
    """
    计算拉格朗日插值函数在 x 处的函数值
    :param x: 横坐标
    :param x_list: 数据点的横坐标列表
    :param y_list: 数据点的纵坐标列表
    :return: 在 x 处的函数值
    """
    n = len(x_list)
    result = 0.0
    for i in range(n):
        term = y_list[i]
        for j in range(n):
            if i != j:
                term *= (x - x_list[j]) / (x_list[i] - x_list[j])
        result += term
    return result

# 示例数据点
x_list = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y_list = [3.0, 1.0, 4.0, 2.0]

# 在 2.5 处的插值函数值
x = 2.5
y = lagrange_interpolation(x, x_list, y_list)
print(f"在 {x} 处的插值函数值为：{y}")

这个示例代码中，使用了一个 `lagrange_interpolation` 函数，该函数接受一个横坐标值 `x`，以及数据点的横坐标列表和纵坐标列表，返回在 `x` 处的插值函数值。在函数中，使用了上面给出的拉格朗日插值公式来计算插值多项式的值，并将其作为函数的返回值。最后，使用示例数据点和横坐标值 `2.5` 来测试这个函数，并输出结果。