灰色预测matlab代码带着解析式

灰色预测（Grey Prediction）是基于灰色系统理论的一种预测方法，它适用于少量数据、不确定性高的情况，常用于经济、环境、社会等领域的预测。下面给出一个基于Matlab的灰色预测代码及其解析。

代码：

function [y, error] = GM1N(x, p)
% x：原始数据，p：预测步数
% y：预测结果，error：预测误差
n = length(x);
x1 = cumsum(x); % 一次累加
z1 = (x1 + circshift(x1, [-1, 0])) / 2; % 紧邻均值
z1 = z1(1 : n - 1);
B = [-z1, ones(n - 1, 1)];
Yn = x(2 : end)';
u = B \ Yn; % 求解参数
a = u(1);
b = u(2);
% 建立灰色预测模型
Xn = (x1(1) - b / a) * exp(-a * (0 : n - 1)) - (x1(1) - b / a) * exp(-a * (1 : n));
% 预测
f = Xn(n : n + p - 1);
y = f;
error = Yn - Xn(1 : n - 1)';
end

解析：

该代码实现了GM(1,1)模型的灰色预测，输入为原始数据$x$和预测步数$p$，输出为预测结果$y$和预测误差$error$。

首先，对原始数据进行一次累加得到$x_1$，然后计算紧邻均值$z_1$。接下来，通过紧邻均值建立一次线性微分方程：

$$\frac{dx_1}{dt}+ax_1=b$$

其中，$a$和$b$为待求参数。将微分方程离散化后，得到：

$$x_1(k+1)+ax_1(k)=ax_1(k-1)+b$$

即

$$x_1(k+1)=\frac{1}{2}(x_1(k)+x_1(k-1))+\frac{b}{2a}(\frac{1-e^{-a}}{a})e^{-ak}$$

将其转化为矩阵形式：

$$\begin{bmatrix}-z_1(1)&1\\-z_1(2)&1\\ \vdots & \vdots \\ -z_1(n-1)&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(1)\\b/a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1(2)\\x_1(3)\\ \vdots \\x_1(n)\end{bmatrix}$$

求解参数$u=[a,b]^T$后，根据公式：

$$\hat{x}_1(k+1)=(x_1(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a}$$

可得到预测序列$\hat{x}_1$。最后，根据预测序列得到预测结果。

需要注意的是，灰色预测方法本身存在一定误差，因此预测结果仅供参考。