用R考虑一个从参数λ=1的指数分布中抽取的样本量为100的样本。 （1）给出样本的对数经验生存函数lnSn（t）的标准差（lnSn（t）作为t的函数）； （2）从计算机中产生几个类似的样本量为100的样本，画出它们的对数经验函数图，结合图补充对问题（1）的回答。

在R语言中处理这个问题涉及到指数分布的统计特性以及计算样本的对数经验生存函数（Log-Normal Survival Function）。首先，我们需要了解一些背景：

1. **指数分布**：如果随机变量T服从参数λ的指数分布（Exponential Distribution），其概率密度函数(PDF)为f(t) = λ * e^(-λ*t)，其中λ是速率参数。

2. **样本对数经验生存函数**：对于来自指数分布的样本，对数经验生存函数是对每个观察值取负对数并求均值，即ln Sn(t) = -平均(ln(T_i))，其中Ti是独立的指数分布随机变量。

（1）给定λ=1和n=100，样本的对数经验生存函数的方差会随着时间t的变化而变化，因为ln Sn(t)的方差由样本数据的分散程度决定。由于ln Sn(t)近似于正态分布，其标准差可以使用样本均值的方差公式σ[ln Sn(t)] ≈ σ(ln(Ti))/sqrt(n)，其中σ(ln(Ti))是单个观测值对数值的方差。在指数分布中，单个观测值的期望值为1/λ，方差也为1/(λ²)。所以，标准差为sqrt(1/λ²)/sqrt(n) = sqrt(n/λ²)。

代入λ=1，我们得到标准差为sqrt(n)。因此，当t增大时，ln Sn(t)的标准差会减小，因为它基于更多的数据点。

（2）为了在R中生成这类样本并绘制对数经验生存函数图，我们可以使用以下步骤：
- 使用`rexp()`函数从参数λ=1的指数分布中抽样100次。
- 计算每个样本的对数生存函数，存储结果。
- 绘制对数生存函数的直方图或线图，显示标准差随时间变化的情况。

以下是简单的R代码示例：

# 设置参数
lambda <- 1
sample_size <- 100
times <- seq(0, 10, by = 0.1) # 时间范围

# 生成样本并计算对数经验生存函数
samples <- rexp(sample_size, lambda)
ln_sn <- -mean(log(samples), na.rm = TRUE)

# 计算标准差
std_dev <- sd(log(samples)) / sqrt(sample_size)

# 绘制对数经验生存函数图
plot(times, ln_sn, type = "l", ylab = "ln(S_n(t))", xlab = "t",
     main = paste("ln(S_n(t)) for λ =", lambda, ", Sample Size =", sample_size))
lines(times, ln_sn + c(0, std_dev * sqrt(times)), lty = "dashed") # 标准差上下限

完成以上操作后，你可以看到ln Sn(t)的图形，它展示出了标准差随着时间增加而减小的趋势，并且有虚线表示标准差的变化范围。