(1)对于连通的无向图，采用Dijkstra最短路径算法，在Dist数组中能否给 出足够形成一棵支撑树的信息? (2)是否能给出一棵最小支撑树?请证明你的结论或举反例说明。 (提示:Dist数组用来记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。)

对于连通的无向图，采用 Dijkstra 最短路径算法，在 Dist 数组中不能给出足够形成一棵支撑树的信息。

证明：Dijkstra 算法是基于贪心策略的最短路径算法，它每次求出一个顶点的最短路径后就将其标记为已经计算过的，并不考虑与其相连的边。因此，在 Dist 数组中并不包含所有的边的信息，也就不能形成一棵支撑树。

同时，也不能给出一棵最小支撑树。证明：最小支撑树是指构成一张图的所有边中，最小生成树所包含的边，而 Dijkstra 算法只能求出最短路径，并不能求出最小生成树。因此，也不能给出最小支撑树。

举反例说明：假设有一张无向图如下所示：

1---2---3
\ /
4

对于顶点 1，采用 Dijkstra 算法求出的最短路径信息存储在 Dist 数组中，即 Dist[2]=1，Dist[3]=2，Dist[4]=1。但是，根据这些信息是不能组成一棵支撑树的。

相关问题

在内存不超限情况，给定任意一张带权值的有向连通图，请采用Dijkstra算法输出从给定结点到其余结点的最短路径以及路径长度，给出c语言代码

以下是基于Dijkstra算法的C语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 100 // 最大顶点数
#define INF INT_MAX // 定义正无穷

typedef struct {
    int vertex[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点集合
    int edge[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接矩阵
    int vertex_num; // 顶点数
    int edge_num; // 边数
} Graph;

void Dijkstra(Graph *G, int start, int *dist, int *prev) {
    int i, j, k;
    int min;
    int visited[MAX_VERTEX_NUM]; // 标记顶点是否已访问
    for (i = 0; i < G->vertex_num; i++) {
        dist[i] = G->edge[start][i]; // 初始化距离
        visited[i] = 0; // 标记为未访问
        if (G->edge[start][i] < INF) {
            prev[i] = start; // 记录前驱结点
        } else {
            prev[i] = -1; // 无前驱结点
        }
    }
    dist[start] = 0; // 起点到自身的距离为0
    visited[start] = 1; // 标记为已访问
    for (i = 1; i < G->vertex_num; i++) {
        min = INF;
        for (j = 0; j < G->vertex_num; j++) {
            if (!visited[j] && dist[j] < min) {
                k = j;
                min = dist[j];
            }
        }
        visited[k] = 1; // 标记为已访问
        for (j = 0; j < G->vertex_num; j++) {
            if (!visited[j] && G->edge[k][j] < INF) {
                if (dist[k] + G->edge[k][j] < dist[j]) {
                    dist[j] = dist[k] + G->edge[k][j]; // 更新距离
                    prev[j] = k; // 记录前驱结点
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    Graph G;
    int i, j, start;
    int dist[MAX_VERTEX_NUM]; // 存储最短距离
    int prev[MAX_VERTEX_NUM]; // 存储前驱结点
    printf("请输入顶点数和边数：");
    scanf("%d%d", &G.vertex_num, &G.edge_num);
    printf("请输入顶点：");
    for (i = 0; i < G.vertex_num; i++) {
        scanf("%d", &G.vertex[i]);
    }
    for (i = 0; i < G.vertex_num; i++) {
        for (j = 0; j < G.vertex_num; j++) {
            G.edge[i][j] = INF; // 初始化邻接矩阵
        }
    }
    printf("请输入边及其权值：\n");
    for (i = 0; i < G.edge_num; i++) {
        int v1, v2, w;
        scanf("%d

用C语言求不带权无向连通图G中从顶点1-4的一条最短路径

可以使用Dijkstra算法来求解。以下是示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define V 5 // 图的顶点个数

int minDistance(int dist[], int visited[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < V; v++) {
        if (visited[v] == 0 && dist[v] <= min) {
            min = dist[v];
            min_index = v;
        }
    }
    return min_index;
}

int printSolution(int dist[]) {
    printf("Vertex \t Distance from Source\n");
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        printf("%d \t %d\n", i+1, dist[i]);
    }
}

void dijkstra(int graph[V][V], int source) {
    int dist[V];
    int visited[V];

    for (int i = 0; i < V; i++) {
        dist[i] = INT_MAX;
        visited[i] = 0;
    }

    dist[source-1] = 0; // 起点到自己的距离为0

    for (int i = 0; i < V-1; i++) {
        int u = minDistance(dist, visited);
        visited[u] = 1;
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (!visited[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX && dist[u]+graph[u][v] < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
            }
        }
    }

    printSolution(dist);
}

int main() {
    int graph[V][V] = {
        {0, 2, 0, 6, 0},
        {2, 0, 3, 8, 5},
        {0, 3, 0, 0, 7},
        {6, 8, 0, 0, 9},
        {0, 5, 7, 9, 0}
    };

    dijkstra(graph, 1);

    return 0;
}

在上面的代码中，我们使用一个邻接矩阵来表示无向图，其中 `graph[i][j]` 表示顶点 i 和 j 之间的边的权重。我们使用一个 dist 数组来保存从源点到每个顶点的最短距离，visited 数组用来记录每个顶点是否被访问过。在执行 Dijkstra 算法时，我们首先将 dist 数组初始化为 INT_MAX，visited 数组初始化为 0，然后将起点到自己的距离设为 0。接着，我们进行 V-1 次循环，每次从未访问过的顶点中选择一个距离源点最近的顶点 u，然后更新 u 的邻居节点的最短距离，最后将 u 标记为已访问。当所有的顶点都被访问过后，dist 数组中保存的就是从源点到每个顶点的最短距离。