=(1,1,1,1)，y=(2,2,2,2)，计算余弦、相关、欧几里得。

余弦相似度：
$$sim_{cos}(x,y)=\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}}$$
代入数据：
$$sim_{cos}(x,y)=\frac{1\times 2+1\times 2+1\times 2+1\times 2}{\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}\sqrt{2^2+2^2+2^2+2^2}}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

相关系数：
$$sim_{cor}(x,y)=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$$
其中，$\bar{x}$和$\bar{y}$分别是$x$和$y$的平均值。代入数据：
$$\bar{x}=\bar{y}=\frac{1+1+1+1}{4}=\frac{1}{4}$$
$$sim_{cor}(x,y)=\frac{(1-\frac{1}{4})(2-\frac{2}{4})+(1-\frac{1}{4})(2-\frac{2}{4})+(1-\frac{1}{4})(2-\frac{2}{4})+(1-\frac{1}{4})(2-\frac{2}{4})}{\sqrt{(1-\frac{1}{4})^2+(1-\frac{1}{4})^2+(1-\frac{1}{4})^2+(1-\frac{1}{4})^2}\sqrt{(2-\frac{2}{4})^2+(2-\frac{2}{4})^2+(2-\frac{2}{4})^2+(2-\frac{2}{4})^2}}=\frac{1}{1}$$

欧几里得距离：
$$dis(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$$
代入数据：
$$dis(x,y)=\sqrt{(1-2)^2+(1-2)^2+(1-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4}=2$$