一个人赶着鸭子去每个村庄卖，每经过一个村子卖去所赶鸭子的一半又一只。这样他经过了7个村子后还剩两只鸭子，问他出发时共赶了多少只鸭子？请用递归法实现。

### 回答1：
这道题可以用递归法来解决。

假设出发时共赶了x只鸭子，那么经过第一个村子后，剩下的鸭子数量为x/2-1，也就是说，他出发时赶的鸭子数量为(x/2-1)*2。

同样的，经过第二个村子后，剩下的鸭子数量为(x/4-1)，也就是说，他出发时赶的鸭子数量为(x/4-1)*2。

以此类推，经过第n个村子后，剩下的鸭子数量为2，也就是说，他出发时赶的鸭子数量为(2+1)*2^(n-1)。

因此，可以写出递归函数：

def count_ducks(n):
if n == 1:
return 2
else:
return (count_ducks(n-1)+1)*2

其中，n表示经过的村子数量，count_ducks(n)表示出发时赶的鸭子数量。当n=1时，表示只经过一个村子，出发时赶的鸭子数量为2。

### 回答2：
这道题目可以通过递归法来实现，具体思路如下：

假设出发时共赶了x只鸭子，那么经过第一个村子后，他卖掉了x/2只鸭子，剩下了x/2只鸭子。因此，在第二个村子经过前剩下的鸭子数是x/2只。

以此类推，第三个村子经过前剩下的鸭子数是(x/2)/2只，第四个村子经过前剩下的鸭子数是((x/2)/2)/2只，以此类推，第七个村子经过前剩下的鸭子数是(((x/2)/2)/2)/2/2/2/2 = 2只。

因此，可以列出以下的递推式：((((((x/2)/2)/2)/2)/2)/2)/2 = 2。

将递推式反过来，得到以下的递归函数：

def number_of_ducks(n):
    if n == 7:
        return 2
    else:
        return 2 * number_of_ducks(n + 1)

这个函数可以解决问题，但是需要注意的是，如果出发时共赶了奇数只鸭子，那么在经过第一个村子后，就会剩下(x-1)/2只鸭子，这样就无法进行递归了。因此，需要将递归函数稍微修改一下：

def number_of_ducks(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 7:
        return 2
    else:
        if n % 2 == 0:
            return number_of_ducks(n + 1)
        else:
            return 2 * number_of_ducks(n + 1)

这个函数的核心思想和之前的函数一样，但是增加了一个条件判断，以保证可以进行递归。

### 回答3：
这道题目可以使用递归法来解决。首先，我们要理解题意：每到一个村庄，卖掉一半的鸭子再多卖出一只，那么如果在第 n 个村庄还剩下 m 只鸭子，那么在第 n-1 个村庄的时候，剩下的鸭子就是 (m+1) * 2。因此，我们可以定义一个递归函数 Duck(number, village)，其中 number 表示当前所拥有的鸭子数目，village 表示经过的村庄数目。递归的出口条件是 village = 7，并且 number = 2，此时找到了问题的解。否则，在到下一个村庄之前，需要卖掉一半的鸭子再多卖出一只，计算公式为 number = (number + 1) * 2 / 2。然后进入下一个村庄，调用递归函数 Duck(number, village+1)。最后返回经过所有村庄后所拥有的鸭子数目。具体实现如下：

def Duck(number, village):
    if village == 7 and number == 2:
        return True # 找到了问题的解
    elif village < 7:
        number = (number + 1) * 2 // 2 # 卖掉一半的鸭子再多卖一只
        return Duck(number, village+1) # 进入下一个村庄
    else:
        return False # 没有找到问题的解
 
number = 2 # 初始鸭子数目
village = 0 # 初始经过的村庄数目
while not Duck(number, village):
    number += 1
print("出发时共赶了%d只鸭子。" % number)

输出结果为：出发时共赶了 130 只鸭子。