7-7 排列的字典序问题

排列的字典序问题是经典的组合数学问题，主要考察对于排列的理解和计算。假设有 $n$ 个元素，那么全排列的数量为 $n!$。其中，第 $k$ 个排列可以通过以下步骤得到：

1. 从 $1$ 到 $n$ 中选择一个数作为排列的第一个元素，共有 $n$ 种选择；
2. 从剩下的 $n-1$ 个数中选择一个数作为排列的第二个元素，共有 $n-1$ 种选择；
3. 以此类推，直到选择了所有 $n$ 个元素。

因此，第 $k$ 个排列可以表示为 $a_1a_2\cdots a_n$，其中 $a_i$ 表示在第 $i$ 个位置上填的数字，可以通过以下公式计算：

$$a_i = \lfloor \frac{k-1}{(n-i)!} \rfloor + 1$$

其中，$\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，即向下取整。这个公式的意义是，将 $k$ 分解为 $(n-1)!$、$(n-2)!$、$\cdots$、$1!$ 这些数的系数，然后再加上 $1$，就得到了 $a_i$。

接下来，我们需要将 $a_i$ 插入到 $a_1a_2\cdots a_{i-1}$ 这个已经排好序的序列中。具体地，假设 $a_i$ 是第 $j$ 个未使用的数，那么就将 $a_i$ 插入到 $a_1a_2\cdots a_{i-1}$ 的第 $j$ 个位置上。然后，将 $a_j$ 从未使用的数中删除，再将 $k$ 更新为 $k$ 对 $(n-i)!$ 取模的余数。最终，当 $i=n$ 时，就得到了第 $k$ 个排列。

下面是 Python 代码实现：

相关问题

541: 排列的字典序问题

字典序是指按照字母表的顺序排列单词的方法。在排列问题中，字典序也被用于确定排列的顺序。

对于给定的一组数字，它们的所有排列按字典序排序的方法是这样的：

1. 从右往左找到第一个比它右边数字小的数字，记为 a。

2. 从右往左找到第一个比 a 大的数字，记为 b。

3. 交换 a 和 b。

4. 把 a 右边的数字按升序排列，这样就得到了下一个排列。

举个例子，对于数字序列 1 2 3 4，其所有排列按字典序排序的方法如下：

1 2 3 4
1 2 4 3
1 3 2 4
1 3 4 2
1 4 2 3
1 4 3 2
2 1 3 4
2 1 4 3
2 3 1 4
2 3 4 1
2 4 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
3 1 4 2
3 2 1 4
3 2 4 1
3 4 1 2
3 4 2 1
4 1 2 3
4 1 3 2
4 2 1 3
4 2 3 1
4 3 1 2
4 3 2 1

这样，我们就得到了所有排列按字典序排序的结果。

给出 n 互不相同的数，输出它们的 n！个排列。按字典序从小到大输出这组数的全排列。两个排列在字典序的大小关系指，从第一个位置开始比较，遇到的第一个不相同的数时，较小的那个所在的排列字典序更小。

这是一个经典的全排列问题，可以使用递归的方式来解决。以下是一个基于 C++ 的实现代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

void permute(vector<int>& nums, int start, vector<vector<int>>& result) {
    if (start == nums.size() - 1) {
        result.push_back(nums);
    } else {
        for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
            swap(nums[start], nums[i]);
            permute(nums, start + 1, result);
            swap(nums[start], nums[i]);
        }
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> result;
    permute(nums, 0, result);
    sort(result.begin(), result.end());
    return result;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
    vector<vector<int>> result = permute(nums);
    for (auto& vec : result) {
        for (int num : vec) {
            cout << num << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

对于每个位置，我们可以将它和后面的位置交换，然后递归到下一层，直到最后一个位置。在递归回溯的过程中，需要还原交换的元素。

最后排序并输出即可。