matlab拟合曲线 方差

### MATLAB 中实现曲线拟合并计算方差

在 MATLAB 中可以利用 `polyfit` 函数来执行多项式的拟合操作，该函数能够返回多项式系数向量 p。对于给定的数据点 `(x,y)` ，可以通过指定多项式的阶数 n 来获得最佳拟合多项式[^1]。

为了评估拟合的质量并进一步分析数据间的离散程度，可引入均方根误差 (RMSE) 和决定系数 R² 的概念作为衡量标准之一；而针对方差的计算，则需基于残差平方和以及自由度来进行处理。

下面展示一段用于完成上述任务的代码：

% 假设已知一组测量值 x 和 y
x = [0.2 0.4 0.6 0.8 1]; 
y = [-0.79 -0.53 -0.25 0.04 0.3];

% 使用 polyfit 进行三阶多项式拟合
p = polyfit(x, y, 3);

% 计算预测值 yi_hat
yi_hat = polyval(p,x);

% 求取总样本数量 N 及自由度 df
N=length(y);
df=N-length(p);

% 方差 s^2=RSS/df RSS为残差平方和
s_squared=sum((y-yi_hat).^2)/df;

disp(['The variance of the fit is ', num2str(s_squared)]);

这段程序首先调用了 `polyfit()` 对输入变量进行了三次多项式拟合，并得到了相应的参数估计值存放在数组 p 中。接着运用这些参数重新构建了理论上的响应变量 yi_hat 。最后依据实际观测值得到了残差序列 e=y−yi_hat 并据此求得了无偏估计下的总体方差 s^2 【即剩余平方和除以自由度】。