动态规划解决货郎问题示例

### 动态规划求解旅行商问题

旅行商问题是组合优化中的经典难题之一，在最坏情况下许多机器学习问题都是难以处理的，这同样适用于通过传统算法解决TSP问题[^1]。为了应对这一挑战并设计具有可证明保证的算法，可以采用动态规划方法来尝试解决问题。

下面是一个利用Python实现基于动态规划策略求解小型规模下精确解版本的旅行商问题的例子：

import itertools
import numpy as np


def tsp_dp(dist_matrix):
    n = len(dist_matrix)

    C = {(frozenset([0, i + 1]), i + 1): (dist_matrix[0][i + 1], 0) for i in range(n - 1)}
    
    for s_size in range(2, n):
        for S in itertools.combinations(range(1, n), s_size):
            S = frozenset(S).union({0})
            
            for j in S.difference({0}):
                C[(S, j)] = min((C[(S.difference({j}), k)][0] +
                                 dist_matrix[k][j], k)
                                for k in S.difference({0, j}))
                
    all_points_set = frozenset(range(0, n))
    opt, parent = min([(C[(all_points_set, j)][0] + dist_matrix[j][0], j)
                       for j in range(1, n)])
    
    route = []
    backtrace_point = parent
    
    for _ in range(n - 1):
        route.append(backtrace_point)
        next_point = C[(all_points_set, backtrace_point)][1]
        backtrace_point = next_point
        
    route.reverse()
    total_route = [0] + route + [0]

    return total_route, opt


if __name__ == "__main__":
    distance_matrix = [
        [0, 10, 15, 20],
        [10, 0, 35, 25],
        [15, 35, 0, 30],
        [20, 25, 30, 0]
    ]
    
    path, cost = tsp_dp(distance_matrix)
    print(f"The optimal tour is {path}, with a minimum travel cost of {cost}.")

此代码片段展示了如何构建一个简单的自定义函数`tsp_dp`用于计算给定城市间距离矩阵下的最优路径以及相应的最小花费。需要注意的是这种方法虽然能够得到全局最优解但是其时间复杂度较高(O(2^n * n^2))，因此仅适合于较小尺寸的问题实例。