用matlab 语言编写求解三角方程组的前代法和回代法程序

在MATLAB中，我们可以使用迭代的方式来求解三角方程组，即所谓的“前向替代”(Forward Substitution)和“后向替代”(Backward Substitution)。这两种方法通常用于处理稀疏矩阵，因为它们对稀疏矩阵的存储结构有很好的利用。

**1. 前向替代（Forward Substitution）**
前向替代适用于上三角矩阵（U），它的形式是A = L + U，其中L是对角线元素为零的下三角矩阵，U是对角线上元素非零的上三角矩阵。这个过程是从第一个方程开始，依次解出每一列变量直到最后一个。

function [x] = forwardSubstitution(L, b)
n = length(b);
x = zeros(n, 1);
for i = 1:n
    x(i) = (b(i) - L(i, 1:i-1) * x(1:i-1)) / L(i, i);
end

**2. 后向替代（Backward Substitution）**
后向替代则是针对下三角矩阵，其形式类似，比如A = L - U。从最后一个方程开始，逆序计算变量值。

function [x] = backwardSubstitution(U, b)
n = length(b);
x = zeros(n, 1);
x(end) = b(end) ./ U(end, end);
for i = n-1:-1:1
    x(i) = (b(i) - U(i, i+1:end) * x(i+1:end)) ./ U(i, i);
end

这两个函数接收上三角矩阵和右侧向量作为输入，返回解向量x。

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