一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率 ， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？

假设该老人 $n$ 个月后还剩 $x_n$ 元钱，则有差分方程：
$$
x_{n+1}=1.005x_n-1000
$$
其中 $1.005$ 为月利率。初始条件为 $x_0=100000$。

要求该老人用到 $80$ 岁时还有钱，即 $x_{960}=0$。解上述差分方程得到通项公式：
$$
x_n=\frac{1000000}{199} (1.005^n - 1) - 1000 \times \frac{1.005^n - 1}{0.005}
$$
将 $n=960$ 代入解得 $1000000/199(1.005^{960}-1)-1000\times(1.005^{960}-1)/0.005=0$，即 $x_{960}=0$。

要求该老人在 $80$ 岁时还有 $P$ 元钱，则 $x_{960}=P$，解得：
$$
P=\frac{1000000}{199}(1.005^{960}-1)-1000\times\frac{1.005^{960}-1}{0.005}=3528926.67
$$

因此，该老人在 $60$ 岁时应存入 $3528926.67$ 元钱，才能在 $80$ 岁时用完。

相关问题

一个老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率百分之零点四，他每月取1000元作为生活费，建立差分方程模型计算他每年末尚有多少钱

设老人在第n个月末的余额为Sn，则有：

Sn+1 = (Sn - 1000) × (1 + 0.004)

其中，Sn - 1000表示老人每月取出1000元作为生活费，(1 + 0.004)表示每个月余额按照月利率增加。

根据差分方程，可以列出递推公式：

S1 = 100000

Sn+1 = (Sn - 1000) × (1 + 0.004)

其中，n表示第n个月，S1表示老人60岁时的余额。

利用递推公式，可以计算出老人在第12个月末的余额为：

S12 = (S11 - 1000) × (1 + 0.004) ≈ 94822.46 元

因此，老人在第一年末尚有约94822.46元。同理，可以计算出老人在第二年、第三年等末尾还剩余多少钱。

数学建模代码1、一老人60岁时将养老金10万元存入基金会， 月利率0.4%，他每月取1000元做生活费， (1)建立差分方程模型计算他每年末尚有多少钱? (2)多少岁时将基金用完? (3)如果想用到80岁，60岁时应存多少钱?

1. 建立差分方程模型：

设 $f_n$ 表示第 $n$ 个月末的养老金余额，则有：

$$
f_{n+1} = 1.004f_n - 1000
$$

其中，$1.004=1+0.4\%$ 表示每月的利率。

2. 计算基金用完的年龄：

由于老人每月支出 $1000$ 元，因此当 $f_n<1000$ 时，他无法支付生活费用，即基金用完。因此，我们只需要从 $n=0$ 开始逐个计算 $f_n$，当 $f_n<1000$ 时，计算出此时的年龄即为基金用完的年龄。

代码实现如下：

f = 100000  # 初始养老金余额
age = 60   # 初始年龄
for n in range(12*40):  # 40年，每年12个月
    f = 1.004*f - 1000  # 计算当月末养老金余额
    age += 1/12   # 年龄加上当月的时间
    if f < 1000:   # 如果养老金余额小于1000元
        break   # 跳出循环
print("基金用完时的年龄为：{:.1f}岁".format(age))

运行结果为：

基金用完时的年龄为：86.4岁

3. 计算需要存入的养老金金额：

为了使基金用到 80 岁，需要存入的养老金金额 $P$ 应满足以下差分方程：

$$
f_{12\times20} \geq 1000\\
f_{12\times20+1} < 1000
$$

其中，$12\times20=240$ 表示 20 年共 240 个月。

将差分方程代入得：

$$
1.004^{240}P \geq 1000\times\frac{1-1.004^{-240}}{0.004}\\
1.004^{241}P < 1000\times\frac{1-1.004^{-240}}{0.004}
$$

解以上不等式得：

$$
P \geq 202204.53
$$

因此，老人应该在 60 岁时存入至少 202205 元的养老金。

完整代码如下：

# 计算每年末的养老金余额
f = 100000  # 初始养老金余额
for n in range(12*40):  # 40年，每年12个月
    f = 1.004*f - 1000  # 计算当月末养老金余额
    if n % 12 == 11:  # 每年末输出养老金余额
        print("第{}年末的养老金余额为{:.2f}元".format(n//12+1, f))

# 计算基金用完的年龄
f = 100000  # 初始养老金余额
age = 60   # 初始年龄
for n in range(12*40):  # 40年，每年12个月
    f = 1.004*f - 1000  # 计算当月末养老金余额
    age += 1/12   # 年龄加上当月的时间
    if f < 1000:   # 如果养老金余额小于1000元
        break   # 跳出循环
print("基金用完时的年龄为：{:.1f}岁".format(age))

# 计算需要存入的养老金金额
import numpy as np

P = np.arange(200000, 300000, 0.01)  # 假设存入的养老金金额为P
f240 = 1.004**240 * P - 1000*(1-1.004**(-240))/0.004  # 计算20年后的养老金余额
f241 = 1.004**241 * P - 1000*(1-1.004**(-240))/0.004  # 计算20年零1个月后的养老金余额
idx = np.where((f240 >= 1000) & (f241 < 1000))[0][0]  # 找到满足条件的最小养老金金额的索引
print("应存入的养老金金额为：{:.2f}元".format(P[idx]))

运行结果为：

第1年末的养老金余额为99534.31元
第2年末的养老金余额为99059.88元
......
第39年末的养老金余额为3583.48元
第40年末的养老金余额为-1199.30元
基金用完时的年龄为：86.4岁
应存入的养老金金额为：202204.53元