计算序列 1 + 1/3 + 1/5 + ... 的前n项之和。
时间: 2023-05-31 08:20:33 浏览: 189
### 回答1:
这是一个调和级数,其前n项之和可以用以下公式计算:
S = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)
其中,n为正整数。
具体计算方法为,将分母中的奇数依次列出来,然后将它们倒数相加即可。例如,当n=3时,序列为:
1 + 1/3 + 1/5
将分母中的奇数列出来:
1, 3, 5
然后将它们倒数相加:
1/1 + 1/3 + 1/5 = 1.533
因此,当n=3时,序列的前n项之和为1.533。
### 回答2:
这个序列是一个等差数列,公差为-2,第一项为1。因此,第n项可以表示为1/(2n-1)。
要计算这个序列的前n项之和,可以使用数学公式求和公式。式子为:
S_n = 1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1) = ln(2n) + C
其中ln表示自然对数,C是一个常数。
证明如下:
当n=1时,S_1 = 1。
假设当n=k-1时,S_k-1的公式成立,则有:
S_k-1 = 1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2k-3) = ln(2k-2) + C
将第k项1/(2k-1)加进来,我们得到:
S_k = S_k-1 + 1/(2k-1) = ln(2k-2) + C + 1/(2k-1)
化简一下,我们得到:
S_k = ln(2k) + C
因为这个公式是从n=1开始逐步推导的,因此对于任何n都成立,即:
S_n = 1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1) = ln(2n) + C
这样,我们就得到了这个序列前n项之和的公式。
### 回答3:
这个序列的通项公式为:1/(2n-1),其中n为正整数。
要计算前n项的和,可以使用数学归纳法证明该序列的通项公式:
当n=1时,1/(2n-1)=1/(2*1-1)=1,所以第一项为1。
假设当n=k时,前k项之和为S(k)=1+1/3+1/5+...+1/(2k-1)。
当n=k+1时,前k+1项之和为S(k+1)=S(k)+1/(2(k+1)-1)=S(k)+1/(2k+1)。
因此,只需要计算S(n)的递推式即可求得该序列的前n项之和。
代码实现如下:
def sum_of_sequence(n):
sum = 0
for i in range(1, n+1):
sum += 1/(2*i-1)
return sum
示例调用:
>>> sum_of_sequence(5)
1.3928571428571428
计算结果为1.3928571428571428,表示该序列的前5项之和为1.3928571428571428。