∫cos \n4\n x dx,
时间: 2024-04-17 20:21:57 浏览: 13
∫cos(4x)dx是一个积分问题,其中cos(4x)是被积函数。
要解决这个积分,我们可以使用换元法。设u = 4x,那么du = 4dx,可以得到dx = du/4。将这个代入原式中,得到∫cos(u)du/4。
对于∫cos(u)du,它的积分结果是sin(u) + C,其中C是常数。将这个结果代入原式中,得到∫cos(u)du/4 = (1/4)sin(u) + C。
最后,将u = 4x代回去,得到最终的结果为(1/4)sin(4x) + C。
相关问题
∫(cos^5x/sin^5x)dx
可以使用三角代换解决该积分。令t=sin(x),则dt/dx=cos(x),cos(x)=sqrt(1-sin^2(x))=sqrt(1-t^2)。将cos(x)和dx用t表示,有:
∫(cos^5x/sin^5x)dx = ∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx
令t=sin(x),则有:
∫(cos^4x/sin^4x)cos(x)dx = ∫(1-t^2)^2/t^4 dt
展开,得到:
∫(1-t^2)^2/t^4 dt = ∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt
将分式拆分,得到:
∫(1 - 2t^2 + t^4 )/t^4 dt = ∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt
对每一项进行积分,得到:
∫(1/t^4 - 2/t^2 + 1) dt = -1/t^3 + 2/t + C
将t=sin(x)代入,得到最终结果:
∫(cos^5x/sin^5x)dx = -cos^(-3)(x)/sin(x) + 2sin(x) + C
∫x(cosx)^2dx
Using integration by parts with u = x and dv = (cos x)²dx, we get:
du = dx
v = ∫(cos x)²dx = (sin x + x/2)(cos x) + C
Thus,
∫x(cos x)²dx = x[(sin x + x/2)(cos x) + C] - ∫[(sin x + x/2)(cos x) + C]dx
= x(sin x + x/2)(cos x) - ∫(sin x)(cos x)dx - C₁x + C₂
= x(sin x + x/2)(cos x) - (cos x) + C₃
= cos x(x/2 + sin x) + C
Therefore, the solution is ∫x(cosx)²dx = cos x(x/2 + sin x) + C.