为什么dv = sin(x)/x dx,则v = -cos(x)、
时间: 2024-03-31 20:34:48 浏览: 9
这里是通过积分公式得出的,可以用反证法来证明。
假设 v = sin(x) + C,其中C为常数。
则根据分部积分公式:∫u dv = u*v - ∫v du,得到:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = ln(x)*(-cos(x) + C) - ∫[(-cos(x) + C)/x] dx
对于第二个积分,可以通过分数分解,得到:
(-cos(x) + C)/x = -cos(x)/x + C/x
∫[(-cos(x) + C)/x] dx = -∫(cos(x)/x) dx + C*∫(1/x) dx
其中,右侧的 ∫(1/x) dx 是发散的,因此整个积分也应该是发散的。但是,根据题目中给出的函数形式,这个积分应该是收敛的,因此假设是错误的。
因此,正确的是:
dv = sin(x)/x dx,则v = -cos(x) + C,其中C为常数。
这也是题目中给出的答案。
相关问题
x*(sin(x))的平方的积分
这个积分可以通过分部积分法来求解。
设u=sin(x),dv= x*sin(x)dx,则du=cos(x)dx,v=-x*cos(x)+sin(x)
则原积分可以表示为:
∫x*(sin(x))^2dx = -x*cos(x)*(sin(x))^2 + ∫cos(x)*(sin(x))^2dx
再次应用分部积分法,设u=sin(x),dv=sin(x)cos(x)dx,则du=cos^2(x)dx,v=-cos(x)cos(x)/2
则原积分可以进一步化简为:
∫x*(sin(x))^2dx = -x*cos(x)*(sin(x))^2 - cos(x)*(sin(x))^2/2 + ∫cos^2(x)*(sin(x))^2dx
化简最后一项,利用三角恒等式sin^2(x)=1-cos^2(x),得到:
∫cos^2(x)*(sin(x))^2dx = ∫(1-sin^2(x))*(sin(x))^2cos(x)dx
令u=sin(x),dv=sin(x)cos(x)dx,则du=cos^2(x)dx,v=-cos(x)cos(x)/2
则∫(1-sin^2(x))*(sin(x))^2cos(x)dx = ∫(1-u^2)u^2du = ∫(u^2-u^4)du = u^3/3 - u^5/5
将上述结果代入原积分中,得到:
∫x*(sin(x))^2dx = -x*cos(x)*(sin(x))^2 - cos(x)*(sin(x))^2/2 + u^3/3 - u^5/5
最终答案为:
-x*cos(x)*(sin(x))^2 - cos(x)*(sin(x))^2/2 + (sin(x))^3/3 - (sin(x))^5/5 + C,其中C为积分常数。
求sinx/x²积分
### 回答1:
这是一个常见的积分,可以用分部积分法解决。
令u = sin(x),dv = 1/x² dx,则du/dx = cos(x),v = -1/x。
根据分部积分公式,积分结果为:
∫ sin(x)/x² dx = -sin(x)/x + ∫ cos(x)/x dx
再用一次分部积分法解决∫ cos(x)/x dx:
令u = cos(x),dv = 1/x dx,则du/dx = -sin(x),v = ln|x|。
根据分部积分公式,积分结果为:
∫ cos(x)/x dx = ln|x|cos(x) + ∫ sin(x)/x² dx
将该式代入前面的积分结果,得到:
∫ sin(x)/x² dx = -sin(x)/x + ln|x|cos(x) + C
其中C为常数。
### 回答2:
要求解积分∫(sinx/x²)dx,我们可以使用分部积分法。
首先,我们选取分部积分的式子,将∫(sinx/x²)dx写为∫(1/x²)(sinx)dx。然后,我们令u = 1/x² 和 dv = sinx dx。
对u = 1/x²求导得到du = (-2/x³)dx,对dv = sinx dx积分得到v = -cosx。
然后,根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du,我们可以得到:
∫(1/x²)(sinx)dx = -cosx/x² + 2∫(cosx/x³)dx。
现在,我们需要解决∫(cosx/x³)dx 这个新的积分。我们可以使用再次利用分部积分法:
令u = cosx 和 dv = (1/x³)dx。
对u = cosx求导得到du = -sinx dx,对dv = (1/x³)dx积分得到v = -1/(2x²)。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du,我们可以得到:
∫(cosx/x³)dx = -1/(2x²) cosx + 1/2 ∫(sinx/x²)dx。
现在,我们需要解决∫(sinx/x²)dx 这个新的积分。刚才的过程中我们已经把它写作了新的积分,所以我们可以继续使用分部积分法。
以相同的方式,令u = sinx 和 dv = (1/x²)dx。
对u = sinx求导得到du = cosx dx,对dv = (1/x²)dx积分得到v = -1/x。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du,我们可以得到:
∫(sinx/x²)dx = -sinx/x - ∫(-cosx/x)dx = -sinx/x + ∫(cosx/x)dx。
现在,我们需要解决新的积分∫(cosx/x)dx。我们可以使用一种名为级数展开法来解决它。
将(cosx/x)展开为无限级数,我们可以得到:
(cosx/x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...
现在,我们可以对该级数展开式逐项进行积分,并且每一项的积分可以直接计算。最终,我们可以得到该级数的积分:
∫(cosx/x)dx = ∫(1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...)dx
= ln|x| + C。
将这个结果代回之前的等式中,我们可以得到最终的积分∫(sinx/x²)dx的解答:
∫(sinx/x²)dx = -sinx/x + ln|x| + C。
其中,C是常数。
### 回答3:
要求$f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$的积分。
我们可以通过应用分部积分公式来计算该积分。分部积分公式的一般形式是:
$$\int u \, dv = u \, v - \int v \, du$$
首先,我们需要选择一个函数作为$u$和另一个函数作为$dv$。让我们选择$u=\frac{1}{x^2}$和$dv=\sin x \, dx$。
首先计算$du$和$v$。对$u$求导,得到$du=-\frac{2}{x^3} \, dx$。对$dv$积分,得到$v=-\cos x$。
现在我们可以应用分部积分公式:
$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = \frac{1}{x^2}(-\cos x) - \int (-\cos x) \left(-\frac{2}{x^3}\right) \, dx$$
$$= -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \int \frac{\cos x}{x^3} \, dx$$
现在我们再次使用分部积分公式,选择$u=\frac{1}{x^3}$和$dv=\cos x \, dx$。计算$du$和$v$得到$du=-\frac{3}{x^4} \, dx$和$v=\sin x$。
将结果代入上面的等式中:
$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \left(\frac{1}{x^3} \sin x - \int \frac{\sin x}{x^4} \, dx\right)$$
我们可以继续重复这个过程,直到达到所需的准确度。然而,由于此处的演算变得冗长,我将节略。请注意,这是一个无穷级数的总和,并且可能没有一个简洁的解析表达式。
因此,$f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$的积分可以表示为:
$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \left(\frac{1}{x^3} \sin x - \frac{2}{x^4}\cos x + \frac{6}{x^5}\sin x - \dots \right)$$