sin2x/(1+cos2x)的原函数是In(3+cos2x)/2吗
时间: 2023-11-19 11:05:15 浏览: 44
不是。我们可以使用反演公式来求解该函数的原函数。
首先,令 $u = \cos 2x$,则 $du = -2\sin 2x\,dx$。将 $u$ 代入原式中,得到:
$$\int\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\,dx = -\frac{1}{2}\int\frac{du}{1+u}$$
对于 $\int\frac{du}{1+u}$,使用换元法 $v = 1 + u$,则 $du = dv$,有:
$$\int\frac{du}{1+u} = \int\frac{dv}{v} = \ln|v| + C = \ln|1+u| + C$$
将 $u$ 代回,得到:
$$\int\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\,dx = -\frac{1}{2}\ln|1+\cos 2x| + C$$
因此,该函数的原函数为 $-\frac{1}{2}\ln|1+\cos 2x| + C$。
相关问题
cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分
这道题可以通过变形和分部积分来求解。
首先,我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
接下来,我们进行变量代换,令 u = sinx + cosx,那么有:
du/dx = cosx - sinx
dx = du/(cosx-sinx)
将 x 表示为 u 的函数,得到:
x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4
将 dx 代入原式中,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du
接下来,我们进行分部积分,令 u^2-2u+2 = t,那么有:
du = (t-2)dt/(2u-2)
将 du 代入原式中,得到:
∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt
= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt
= 1/4∫(1+3/(t-1))dt
= 1/4(t+3ln|t-1|) + C
将 t 代回原式,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C
综上所述,cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。
arcsinx/1+x^2求积分
可以使用部分分式分解法来求解这个积分。
首先,我们对被积函数进行部分分式分解:
arcsinx / (1 + x^2) = A * arctan(x) + B * arcsinx
其中,A 和 B 是待定系数。
然后,我们对这个等式两边同时求导:
d/dx (arcsinx / (1 + x^2)) = d/dx (A * arctan(x) + B * arcsinx)
(1 / (1 + x^2)) * (1 / sqrt(1 - x^2)) / (1 + x^2) = A / (1 + x^2) + B * (1 / sqrt(1 - x^2))
接下来,我们可以取 x = 0,得到:
(1 / 2) * (1 / sqrt(1 - 0^2)) = A / (1 + 0^2) + B * (1 / sqrt(1 - 0^2))
1 / 2 = A + B
接着,我们可以令 x = tan(t),得到:
arcsinx = arctan(t)
1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t)
dx/dt = sec^2(t)
将 x 和 dx/dt 用 t 表示,得到:
arcsin(tan(t)) / (1 + tan^2(t)) = A * t' + B * arctan(tan(t))
arctan(sin(t) / cos(t)) / (1 + sin^2(t) / cos^2(t)) = A * sec^2(t) + B * t
cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) / (cos^2(t) + sin^2(t)) = A * cos^2(t) + B * t * cos^2(t)
cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) = A * cos^4(t) + B * t * cos^2(t)
令 t = π/4,得到:
arcsin(1/sqrt(2)) / (1 + 1/2) = A * cos^4(π/4) + B * π/4 * cos^2(π/4)
1 / (3 * sqrt(2)) = A * (1/2)^2 + B * (1/2) * π/4
1 / (3 * sqrt(2)) = A / 4 + B * π / (8 * sqrt(2))
联立前面求得的两个式子,解得:
A = (2 * sqrt(2)) / 3
B = (-π * sqrt(2)) / 12
因此,原式的积分为:
∫(arcsinx / (1 + x^2)) dx = (2 * sqrt(2) / 3) * arctan(x) - (π * sqrt(2) / 12) * arcsinx + C
其中,C 为常数项。