sin^2(2x)的原函数
时间: 2024-05-28 16:13:06 浏览: 10
sin^2(2x)的原函数可以通过换元法求出。令u=2x,则du/dx=2,dx=du/2,将u代入原式中得到:
∫sin^2(2x)dx = ∫sin^2(u)du/2
再利用三角恒等式sin^2(u) = (1-cos(2u))/2,将其代入上式得到:
∫sin^2(2x)dx = ∫(1-cos(2u))/2 * du/2
化简得到:
∫sin^2(2x)dx = 1/4 * ∫(1-cos(2u))du
对右边的积分分别进行求解:
∫(1-cos(2u))du = u - (1/2)sin(2u) + C
将u=2x代入上式得到:
∫sin^2(2x)dx = 1/4 * (2x - sin(4x)/2) + C
因此,sin^2(2x)的原函数为1/4 * (2x - sin(4x)/2) + C。
相关问题
X倍根号下1+4X^2的原函数
这道题可以使用三角代换来解决。
我们令 $x = \frac{\tan t}{2}$,则有:
$$\begin{aligned} \sqrt{1+4x^2} &= \sqrt{1+4\left(\frac{\tan t}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \sqrt{\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \frac{1}{\cos t} \end{aligned}$$
同时,我们有:
$$\begin{aligned} dx &= \frac{1}{2} \sec^2 \frac{t}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{\cos^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \end{aligned}$$
于是,原函数可以表示为:
$$\begin{aligned} \int x\sqrt{1+4x^2} dx &= \int \frac{\frac{\tan t}{2}}{\cos t} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\sin t}{\cos^3 t} dt + \frac{1}{4} \int \frac{\tan t}{\cos^2 t} dt \\ &= -\frac{1}{4\cos t} + \frac{1}{4} \ln |\cos t| + C \\ &= -\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C \end{aligned}$$
因此,原函数为 $-\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C$。
x3根号下r2-x2的原函数
这个函数可以通过代换和分部积分来求解。首先,我们可以令$x=\sqrt{r^2}\sin\theta=r\sin\theta$,那么$dx=r\cos\theta d\theta$。于是原函数可以表示为:
$$\int x^3\sqrt{r^2-x^2}dx=\int r^4\sin^3\theta\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cdot r\cos\theta d\theta$$
化简一下可得:
$$\int r^5\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta$$
然后我们再进行一次代换,令$u=\sin\theta$,那么$du=\cos\theta d\theta$,于是原函数可以表示为:
$$\int r^5\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta=\int r^5u^3du=\frac{r^5}{4}\sin^4\theta+C$$
最后,将$\theta$用$x$表示回去,即可得到最终答案:
$$\int x^3\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{r^5}{4}\sin^4(\arcsin\frac{x}{r})+C=\frac{r^5}{4}\cdot\frac{x^2}{r^2}(1-\frac{x^2}{r^2})^2+C$$
因此,$x^3\sqrt{r^2-x^2}$的原函数为$\frac{r^5}{4}\cdot\frac{x^2}{r^2}(1-\frac{x^2}{r^2})^2+C$。
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