sinx^5-sinx^7的原函数
时间: 2024-03-19 18:41:27 浏览: 39
首先我们可以利用恒等式将原函数转化为 sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx。然后我们可以进行变量代换,令u = sin x,那么原函数可以表示为:
∫u^5(1 - u^2)^1/2 du - ∫u^7(1 - u^2)^1/2 du
对于第一个积分,我们可以进行部分积分,令v = (1 - u^2)^1/2,du = 5u^4 du,那么有:
∫u^5(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^4 (1 - u^2) du = ∫u^4 du - ∫u^6 du = u^5/5 - u^7/7 + C1
对于第二个积分,我们可以进行部分积分,令v = (1 - u^2)^1/2,du = 7u^6 du,那么有:
∫u^7(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^6 (1 - u^2) du = ∫u^6 du - ∫u^8 du = u^7/7 - u^9/9 + C2
因此,原函数为:
sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx = u^5/5 - u^7/7 - u^7/7 + u^9/9 + C = (sin^5 x)/5 - (2sin^7 x)/7 + (sin^9 x)/9 + C
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求(sinx)^5-(sinx)^8在π/2到π上的积分
首先,我们可以将被积函数改写为(sin(x))^5*(1-sin(x))^3,然后进行变量代换,令u = sin(x),则du/dx = cos(x)dx,当x = π/2 时,u = 1;当x = π 时,u = 0。因此,原积分可以转化为:
∫[1,0] u^5*(1-u)^3 * du / cos(x)
接下来,我们可以使用Beta函数的性质,将被积函数表示为两个Gamma函数的乘积:
(u^5 * (1-u)^3) = Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * u^5 * (1-u)^3
那么,原积分可以表示为:
∫[1,0] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * u^5 * (1-u)^3 * du / cos(x)
再次进行变量代换,令t = u/(1-u),则u = t/(1+t),du/dt = 1/(1+t)^2,因此,原积分可以转化为:
∫[∞,1] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * t^5 / (1+t)^9 * (1-t/(1+t))^3 * (1+t)^2 * dt / cos(x)
化简后得到:
∫[∞,1] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * t^5 / (1+t)^6 * (1-t)^3 * dt / cos(x)
使用Beta函数,得到:
∫[∞,1] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * t^5 / (1+t)^6 * (1-t)^3 * dt / cos(x) = Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * B(6,4) / cos(x)
带入Beta函数公式和Gamma函数的值,最终得到:
∫[π/2,π] (sin(x))^5 * (1-sin(x))^3 dx = 7π/640
e^(-x^2 )+e^x sinx的原函数
这个函数没有一个简单的初等函数形式的原函数。但是,它的积分可以表示为高斯误差函数的形式,即:
∫(e^(-x^2)+e^x sinx)dx = (sqrt(π)/2)erf(x) - (1/2)e^x cosx + (1/2)e^x sinx + C
其中erf(x)是高斯误差函数,C是任意常数。