sinx^5-sinx^7的原函数

首先我们可以利用恒等式将原函数转化为 sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx。然后我们可以进行变量代换，令u = sin x，那么原函数可以表示为：

∫u^5(1 - u^2)^1/2 du - ∫u^7(1 - u^2)^1/2 du

对于第一个积分，我们可以进行部分积分，令v = (1 - u^2)^1/2，du = 5u^4 du，那么有：

∫u^5(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^4 (1 - u^2) du = ∫u^4 du - ∫u^6 du = u^5/5 - u^7/7 + C1

对于第二个积分，我们可以进行部分积分，令v = (1 - u^2)^1/2，du = 7u^6 du，那么有：

∫u^7(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^6 (1 - u^2) du = ∫u^6 du - ∫u^8 du = u^7/7 - u^9/9 + C2

因此，原函数为：

sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx = u^5/5 - u^7/7 - u^7/7 + u^9/9 + C = (sin^5 x)/5 - (2sin^7 x)/7 + (sin^9 x)/9 + C