syms x a; limit((sinx-sina)/(x-a),x,a)

根据极限的定义，我们需要让$x$无限地接近$a$，并且保证$x \neq a$。因此，我们可以将$x$表示为$a+\epsilon$，其中$\epsilon$表示一个无限小的偏差。将$x$代入到极限式子中，可以得到：

$\lim\limits_{x \to a} \frac{\sin{x}-\sin{a}}{x-a} = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{(a+\epsilon)}-\sin{a}}{(a+\epsilon)-a}$

根据三角函数的定义，$\sin{(a+\epsilon)}=\sin{a}\cos{\epsilon}+\cos{a}\sin{\epsilon}$，代入上式，可以得到：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{a}\cos{\epsilon}+\cos{a}\sin{\epsilon}-\sin{a}}{\epsilon}$

化简可得：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{a}(\cos{\epsilon}-1)+\cos{a}\sin{\epsilon}}{\epsilon}$

使用极限的基本性质，可以将式子拆分为两个极限：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{a}(\cos{\epsilon}-1)}{\epsilon} + \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\cos{a}\sin{\epsilon}}{\epsilon}$

对于第一个极限，我们可以使用泰勒级数展开：

$\cos{\epsilon} = 1 - \frac{\epsilon^2}{2!} + \frac{\epsilon^4}{4!} - ...$

因此，$\cos{\epsilon}-1=-\frac{\epsilon^2}{2!}+\frac{\epsilon^4}{4!}-...$。代入到第一个极限中，可以得到：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{a}(\cos{\epsilon}-1)}{\epsilon} = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{a}(-\frac{\epsilon^2}{2!}+\frac{\epsilon^4}{4!}-...)}{\epsilon}$

使用极限的基本性质，可以将$\epsilon$约掉，得到：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\sin{a}(-\frac{\epsilon}{2!}+\frac{\epsilon^3}{4!}-...)}{1}$

再次使用极限的基本性质，可以得到：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \sin{a}(-\frac{\epsilon}{2!}+\frac{\epsilon^3}{4!}-...) = 0$

对于第二个极限，我们可以使用极限的基本性质，将$\epsilon$约掉，得到：

$\lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{\cos{a}\sin{\epsilon}}{\epsilon} = \cos{a}$

因此，原式的极限值为$\cos{a}$。