算一下√(4*x-x^2)的不定积分

首先，我们需要将被积函数的式子进行变形。可以发现，被积函数可以改写为：

√(4*x-x^2) = √(4-(x-2)^2)

我们可以进行变量代换，令x-2=2*sinθ，那么dx=2*cosθ dθ，代入原式得到：

∫√(4*x-x^2) dx = ∫√(4-(x-2)^2) dx

令x-2=2*sinθ，则x=2*sinθ+2，代入原式得到：

∫√(4-(x-2)^2) dx = ∫√(4-4*sin^2θ) * 2*cosθ dθ

化简可得：

∫√(4*x-x^2) dx = ∫4*cos^2θ dθ

再利用三角恒等式 cos^2θ = (1+cos2θ)/2，得到：

∫√(4*x-x^2) dx = 2∫(1+cos2θ)/2 dθ

化简可得：

∫√(4*x-x^2) dx = θ + (1/2)sin2θ + C

代入之前的变量代换，得到：

∫√(4*x-x^2) dx = arcsin((x-2)/2) + (1/2)*(x-2)*√(4-x) + C

其中C为常数。因此，被积函数的不定积分为：

arcsin((x-2)/2) + (1/2)*(x-2)*√(4-x) + C

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计算√x-x²的不定积分

好的，让我来帮您解决这个问题。我们可以将√x-x²表示为(x-1/2)²-1/4，然后进行变量替换，令u=x-1/2，则du=dx，原式变为∫√-(1/4) du，即∫-(1/2)√u du。对这个式子进行积分后，得到答案为-(1/2)u√u+(1/4)ln|u|+C，将u=x-1/2代入，即可得到原式的不定积分。希望我的回答能对您有所帮助！

∫1/(x+(1-x^2)^(1/2))dx的不定积分，并写出步骤

我们可以进行变量代换，令u = 1 − x^2，那么du/dx = -2x，即dx = -du/(2x)。将其带入原式得到：

∫1/(x (1-x^2)^(1/2))dx = -1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2))

接下来，我们可以使用欧拉第一积分的形式，即：

∫dx/(x^a (1-x)^b) = B(x^(1-a), 1-b+a) + C(1-x)^(1-b), 其中B为欧拉第二型不完全贝塔函数，C为常数

将其带入原式得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -1/2B(u^(1/2), 1/2) + C(1-u)^(1/2)

由于B函数不好求解，我们可以使用三角代换法，令u = sin^2θ，那么du = 2sinθcosθdθ，将其带入得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -∫dθ/sinθ = -ln|cscθ - cotθ| + C

将u = sin^2θ带回得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -ln|csc(arcsin(√u)) - cot(arcsin(√u))| + C

即最终结果为：

∫1/(x (1-x^2)^(1/2))dx = -ln|csc(arcsin(√(1-x^2))) - cot(arcsin(√(1-x^2)))|/2 + C